山东省淄博市临淄区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知函数y=（m-2） $x^{m^{2} - 5}$ 是反比例函数，则m的值为（）

A、2 B、-2 C、2或-2 D、任意实数

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2.
如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（　　）

A、12m B、3 $\sqrt{3}$ m C、4 $\sqrt{3}$ m D、12 $\sqrt{3}$ m

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3. 将抛物线 $y = 2 {(x - 3)}^{2} + 2$ 向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）

A、 $y = 2 {(x - 6)}^{2}$ B、 $y = 2 {(x - 6)}^{2} + 4$ C、 $y = 2 x^{2}$ D、 $y = 2 x^{2} + 4$

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4. 对于二次函数y=（x+1）²+2的图象，下列说法正确的是（）

A、开口向下 B、对称轴是直线x=-1 C、顶点坐标是（1，2） D、与x轴有两个交点

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5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = a x + b$ 与二次函数 $y = b (x - a)^{2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $\tan A = 0.85$ ，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 与 $y = x - 2$ 的图象交于点 $P (a ， b)$ ，则代数式 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 如图，A，B是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、2 C、4 D、8

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9. 对称轴为直线 $x = 1$ 的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a$ 、b、c为常数，且 $a \neq 0)$ 如图所示，小明同学得出了以下结论： $① a b c < 0$ ， $② b^{2} > 4 a c$ ， $③ 4 a + 2 b + c > 0$ ， $④ 3 a + c > 0$ ， $⑤ a + b \leq m (a m + b) (m$ 为任意实数）， $⑥$ 当 $x < - 1$ 时，y随x的增大而增大.其中结论正确的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $R t △ O A_{1} C_{1}$ ， $R t △ O A_{2} C_{2}$ ， $R t △ O A_{3} C_{3}$ ， $R t △ O A_{4} C_{4}$ …的斜边都在坐标轴上， $∠ A_{1} O C_{1} = ∠ A_{2} O C_{2} = ∠ A_{3} O C_{3} = ∠ A_{4} O C_{4} = \cdot \cdot \cdot = 30 °$ ．若点 $A_{1}$ 的坐标为 $(3 ， 0)$ ， $O A_{1} = O C_{2}$ ， $O A_{2} = O C_{3}$ ， $O A_{3} = O C_{4}$ …，则依此规律，点 $A_{2022}$ 的纵坐标为（　　）

A、 $3 \times {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2022}$ B、 $3 \times {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2021}$ C、0 D、 $- 3 \times {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2021}$

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二、填空题

11. 二次函数 $y = (k - 2) x^{2} + k^{2} - 4$ 的图象经过原点，则k的值为．

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12. 已知方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．而点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 为反比例函数 $y = \frac{k - 2}{x}$ 的图象上两点，若 $x_{1} > x_{2} > 0$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“>”或“<”或“=”）．

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13. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + m$ 的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式 $- x^{2} + 2 x + m > 0$ 的解集为．

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14. △ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4 $\sqrt{3}$ ，AC＝4，则BC＝．

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15. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OBCA是平行四边形， $s i n ∠ A O B = \frac{4}{5}$ ，反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m > 0)$ 在第一象限内的图像经过点A，与BC交于点F，若点F为BC的中点，且 $△ A O F$ 的面积为12，则m的值为．

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三、解答题

16. 计算

(1)、 $2 c o s 45 ° - \frac{3}{2} t a n 30 ° c o s 30 ° + s i n^{2} 60 °$ ；

(2)、 ${(s i n 30 °)}^{- 1} \times (s i n 60 ° - c o s 45 °) - \sqrt{{(1 - t a n 60 °)}^{2}}$ ；

(3)、已知三角函数有如下的公式： $s i n (α + β) = s i n α c o s β + c o s α s i n β$ ，利用该公式求 $s i n 75 °$ 的值．

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17. 如图，直线y＝﹣x+1与反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象相交于点A、B，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C（﹣2，0），连接AC、BC．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、求S_△ABC；

(3)、利用函数图象直接写出关于x的不等式﹣x+1＜ $\frac{k}{x}$ 的解集．

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18. 已知：如图在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12， $s i n B = \frac{4}{5}$ ．求：

(1)、线段DC的长；

(2)、tan∠EDC的值．

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19. 王叔叔计划购买一套商品房，首付30万元后，剩余部分用贷款并按“等额本金”的形式偿还，即贷款金额按月分期还款，每月所还贷款本金数相同．设王叔叔每月偿还贷款本金y万元，x个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示．

(1)、求y与x的函数关系式；

(2)、求王叔叔购买的商品房的总价；

(3)、若王叔叔计划每月偿还贷款本金不超过2000元，则至少需要多少个月还清？

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20. 已知函数 $y = x^{2} - m x + m - 3$ ．

(1)、求证：无论m为任何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点；

(2)、若函数图象不经过第三象限，求m的范围；

(3)、求证：无论m为何实数，此二次函数的图象一定经过第四象限．

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21. 如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度 $A B$ ，在居民楼前方有一斜坡，坡长 $C D = 15 m$ ，斜坡的倾斜角为 $α$ ， $c o s α = \frac{4}{5}$ ．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为 $60 °$ ，在D点处测得楼顶端A的仰角为 $30 °$ （点A，B，C，D在同一平面内）．

(1)、求C，D两点的高度差；

(2)、求居民楼的高度 $A B$ ．（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

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22. 我国互联网发展日新月异，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条60元，当售价为每条100元时，每月可销售120条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查知：销售单价每降1元，则每月可多销售6条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．

(1)、直接写出y与x的函数关系式：

(2)、设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

(3)、该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4950元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？

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23. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + \frac{5}{2}$ 与直线 $A B$ 交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， \frac{5}{2})$ ．点D是抛物线上A，B两点间的一个动点（不与点A，B重合），直线 $C D$ 与y轴平行，交直线 $A B$ 于点C，连接 $A D ， B D$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、设点D的横坐标为m， $△ A D B$ 的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标；

(3)、点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上的动点，点Q是直线 $A B$ 上的动点．当以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，求出点Q的坐标．

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