山东省烟台市芝罘区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ，则下列式子定成立的是 $($ $)$

A、 $s i n A = s i n B$ B、 $c o s A = c o s B$ C、 $t a n A = t a n B$ D、 $s i n A = c o s B$

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2. 二次函数 $y = - {(x - 1)}^{2} + 3$ 图象的顶点坐标是（）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(- 1 ， - 3)$ D、 $(1 ， - 3)$

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3. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 15$ ， $s i n A = \frac{1}{3}$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、5 B、 $10 \sqrt{2}$ C、45 D、 $\frac{1}{5}$

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4. 抛物线 $y = x^{2} + 6 x + 5$ 可由抛物线 $y = x^{2}$ 平移得到，平移方法是（）

A、先向右平移3个单位，再向下平移4个单位 B、先向左平移6个单位，再向上平移5个单位 C、先向左平移3个单位，再向下平移4个单位 D、先回右平移3个单位，再向上平移1个单位

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5. 已知 $\tan A = 0.85$ ，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的中柱 $A D$ （D为底边中点）长10米， $∠ B = 36 °$ ，则跨度 $B C$ 的长是（）

A、 $\frac{10}{t a n 36 °}$ 米 B、 $\frac{20}{t a n 36 °}$ 米 C、 $20 t a n 36 °$ 米 D、 $10 t a n 36 °$ 米

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7. 设 $A (- 2 ， y_{1}) ， B (1 ， y_{2}) ， C (2 ， y_{3})$ 是抛物线 $y = - {(x - 1)}^{2} + 2$ 上的三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系用“<”连接正确的是（）

A、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$

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8. 已知直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则 $s i n α$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 在同一坐标系内，一次函数 $y = a x + b$ 与二次函数 $y = a x^{2} + 8 x + b$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，已知 $△ A B C$ 的三个顶点均在正方形格点上，则 $c o s A$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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11. 如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数解析式是 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$ ，则该运动员此次掷铅球的成绩是（）

A、6m B、12m C、8m D、10m

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12. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣ $\frac{1}{2}$ ，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax²+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）

A、①③ B、②④ C、③④ D、②③

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二、填空题

13. 函数y= $\frac{\sqrt{x + 1}}{x^{2} - 4}$ 的自变量x的取值范围是．

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上， $A D = B C = 5$ ， $c o s ∠ A D C = \frac{3}{5}$ ，则 $t a n B$ 的值是．

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15. 在平面直角坐标系中，若函数 $y = x^{2} + 2 x - m$ 的图像与坐标轴只有一个交点，那么 $m$ 的取值范围是．

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16. 下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯次点B到点C上升的高度h是m．

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17. 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则tan∠EAF的值= ．

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18. 已知函数 $y = - {(x - 1)}^{2} + h$ 的图像过点 $A (3 ， a)$ 和 $B (m ， b)$ ，且 $a < b$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题

19. 计算： $3 t a n 30 ° + 2 s i n 60 ° - {(c o s 60 °)}^{- 1}$ ．

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20. 已知抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ ．

(1)、求出这个抛物线的对称轴方程和顶点坐标；

(2)、在给定的坐标系中画出这条抛物线，设抛物线与x轴交于A，B两点，y轴交于点C，求 $△ A B C$ 的面积．

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21. 如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们西北方向距离6海里的B处有一艘捕鱼船正在沿南偏西75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14海里的速度沿北偏西某一方向航行，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．

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22. 如图，一个高3米的涵洞的剖面示意图为一段抛物线，涵洞底部宽 $A B = 6$ 米，涵洞内水面宽度 $M N = 4$ 米．

(1)、请建立适当的平而直角坐标系，并求出抛物线的函数关系式；

(2)、求涵洞内的水深．

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23. 如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）
（参考数据表）
计算器按键顺序
计算结果（已精确到0.001）
11.310
0.003
14.744
0.005

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24. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．

(1)、试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

(2)、当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

(3)、为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？

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25. 如图①，已知直线 $y = \frac{4}{3} x + 4$ 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线 $x = - 1$ ， D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、求四边形 $A B C D$ 面积S的最大值及此时D点的坐标；

(3)、过点D向y轴作垂线（如图②），垂足为点E，是否存在点D，使 $△ C D E$ 与 $△ A O C$ 相似？若存在，请求出点D横坐标m的值；若不存在，请说明理由．

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计算器按键顺序	计算结果（已精确到0.001）
	11.310
	0.003
	14.744
	0.005