山东省烟台市栖霞市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若点(﹣5，y₁)，(﹣3，y₂)，(3，y₃)都在反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上，则（）

A、y₁＞y₂＞y₃ B、y₂＞y₁＞y₃ C、y₃＞y₁＞y₂ D、y₁＞y₃＞y₂

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2. 一次函数 $y = a x + b$ 和反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 正比例函数 $y = x$ 与反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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4. 如图， $△ A B C$ 的顶点是正方形网格的格点，则 $s i n B$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 如图， $A C$ 是电杆 $A B$ 的一根拉线，测得 $B C = 6$ 米， $∠ A C B = 52 °$ ，则拉线 $A C$ 的长为（）

A、 $\frac{6}{s i n 52 °}$ 米 B、 $\frac{6}{t a n 52 °}$ 米 C、 $6 \cdot c o s 52 °$ 米 D、 $\frac{6}{c o s 52 °}$ 米

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6. 将二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 配方为 $y = {(x - h)}^{2} + k$ 的形式为（　　）

A、 $y = {(x - 1)}^{2} + 1$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} - 3$ D、 $y = {(x - 2)}^{2} - 1$

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7. 如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离 $B C$ 为 $30 m$ ，在A点测得D点的仰角 $∠ E A D$ 为 $45 °$ ，在B点测得D点的仰角 $∠ C B D$ 为 $60 °$ ，则乙建筑物的高度为（）

A、 $30 \sqrt{3} m$ B、 $(30 \sqrt{3} - 30) m$ C、 $30 m$ D、 $30 \sqrt{2} m$

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8. 若A（ $- \frac{13}{4}$ ， $y_{1}$ ），B（ $- \frac{5}{4}$ ， $y_{2}$ ），C（ $\frac{1}{4}$ ， $y_{3}$ ）为二次函数 $y ＝ x^{2} + 4 x - 5$ 的图象上的三点，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$ B、 $y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3}$ C、 $y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2}$ D、 $y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$

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9. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）

A、 $y = (x + 2)^{2} + 1$ B、 $y = (x + 2)^{2} - 1$ C、 $y = (x - 2)^{2} + 1$ D、 $y = (x - 2)^{2} - 1$

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10. 若函数y＝ax²﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足（）

A、a＝ $\frac{1}{4}$ B、a≤ $\frac{1}{4}$ C、a＝0或a＝﹣ $\frac{1}{4}$ D、a＝0或a＝ $\frac{1}{4}$

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二、填空题

11. 已知函数 $y = {(x - 1)}^{0} + \frac{\sqrt{x + 1}}{x}$ 求x的取值范围．

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12. 如图，河堤横断面迎水坡 $A B$ 的坡比是 $1 ： \sqrt{3}$ ，堤高 $B C = 10 m$ ，则坡面 $A B$ 的长度是m．

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13. 轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则B处与灯塔A的距离是海里．

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14. 如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$ ．则他将铅球推出的距离是米．

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15. 某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当 $10 ≤ x ≤ 20$ 时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润=总销售额-总成本）．

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16. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的大致图象如图所示，顶点坐标为 $(- 2 ， - 9 a)$ ，下列结论：① $a b c > 0$ ；② $16 a - 4 b + c < 0$ ；③若方程 $a x^{2} + b x + c = - 1$ 有两个根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $- 5 < x_{1} < x_{2} < 1$ ；④ $a^{2} + a b + c$ 的最小值为 $- \frac{5}{4}$ ．其中正确结论的是．

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三、解答题

17. 计算

(1)、 $s i n^{2} 30 ° + 2 s i n 60 ° + t a n 45 ° - t a n 60 ° + c o s^{2} 30 °$

(2)、 $\sqrt{8} - 2 s i n 45 ° + 2 c o s 60 ° + | 1 - \sqrt{2} | + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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18. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE=6，cosA= $\frac{3}{5}$ .

(1)、求CD的长；

(2)、求tan∠DBC的值.

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19. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示．

(1)、求该函数图象与x轴的另一个交点坐标；

(2)、求这个二次函数的解析式；

(3)、直接写出满足 $y < 0$ 时x的取值范围．

(4)、求不等式 $a x^{2} + b x + c ≤ 12$ 的解．

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20. 如图，一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）与反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ （ $x ＞ 0$ ）的图象交于A $(m ， 6)$ ， B $(3 ， n)$ 两点．

(1)、求一次函数的解析式；

(2)、根据图象，直接写出使 $k x + b ＜ \frac{6}{x}$ 成立的 $x$ 的取值范围；

(3)、求 $△ A O B$ 的面积．

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21. 为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

(1)、药物燃烧时，y关于x的函数关系式为，自变量x的取值范围为；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 .

(2)、研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，员工才能回到办公室；

(3)、研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

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22. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AC，BD和AB的长度（结果保留小数点后两位）．

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23. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 $O E$ 表示水平的路面，以O为坐标原点，以 $O E$ 所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求： $O E = 10 m$ ，该抛物线的顶点P到 $O E$ 的距离为 $9 m$ .

(1)、求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

(2)、现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯.已知点A、B到 $O E$ 的距离均为 $6 m$ ，求点A、B的坐标.

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24. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．

(1)、求y与x之间的函数关系式．

(2)、若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？

(3)、设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

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25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + x + m$ （a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）.

(1)、求此抛物线的函数解析式.

(2)、点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)、点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标.

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