山东省潍坊市寒亭区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（）．

A、 B、 C、 D、

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2. 若用我们数学课本上采用的科学计算器计算 $t a n 35 ° 1 2^{'}$ ，按键顺序正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，已知四边形 $A B F E ∽$ 四边形 $E F C D$ ， $A B = 2$ ， $E F = 3$ ，则 $D C$ 的长是（）．

A、6 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、4

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4. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B$ 与弦 $C D$ 交于点E，若B为 $\overset{⌢}{C D}$ 的中点，则下列说法错误的是（）．

A、 $\overset{⌢}{C B} = \overset{⌢}{B D}$ B、 $O E = B E$ C、 $C E = D E$ D、 $A B ⊥ C D$

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5. 苏州虎丘塔是我国江南著名的园林景点．它建成于宋代（961年），共7层，高h米．由于地基的原因，塔身自400年前就开始向西北方向倾斜．据测量，至今塔顶的中心偏离底层中心铅垂线的角度为 $α$ ，被称为“东方比萨斜塔”．如今虎丘塔塔顶的中心偏离底层中心铅垂线的距离是（）米

A、 $h \cdot c o s α$ B、 $h \cdot s i n α$ C、 $h \cdot t a n α$ D、 $\frac{h}{t a n α}$

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6. 已知点 $A (a ， b)$ 在第四象限，则关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x - 2 = 0$ 的根的情况是（）．

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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7. 课下小亮和小莹讨论一道题目：“已知点O是 $△ A B C$ 的外心， $∠ B O C = 132 °$ ，求 $∠ A$ ”．小亮的解答为：如图，画 $△ A B C$ 以及它的外接圆O，连接 $O B ， O C$ ，由 $∠ B O C = 2 ∠ A = 132 °$ ，得 $∠ A = 66 °$ ．而小莹说：“小亮考虑的不周全， $∠ A$ 应该还有另一个不同的值”．下列判断正确的是（）

A、小亮求的结果不对， $∠ A$ 应该是 $48 °$ B、小莹说的不对， $∠ A$ 就是 $66 °$ C、小莹说的对， $∠ A$ 的另一个值是 $114 °$ D、两人说的都不对， $∠ A$ 的值有无数个

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8. 一个容器盛满纯果汁5升，第一次倒出一部分果汁后加满水，第二次又倒出同样体积稀释过的果汁，再加满水，此时容器中的纯果汁剩下4升．设每次倒出x升，根据题意列出的方程是（）

A、 $(5 - x) (1 - \frac{x}{5}) = 4$ B、 $(5 - x)^{2} = 4$ C、 $5 (1 - x)^{2} = 4$ D、 $5 - 2 x = 4$

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二、多选题

9. $△ A B C$ 在方格纸（每个小正方形的边长为1）上的位置如图所示，顶点都在格点上， $A D$ 交 $B C$ 于点D，D在格线上，下列选项中正确的是（）

A、 $t a n α = \frac{1}{3}$ B、 $t a n β = 1$ C、 $s i n α = \frac{1}{4}$ D、 $c o s β = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 如图，点B，C在x轴上，点A和D的纵坐标分别为2， $- 1$ ，连接 $A B ， A D ， B C ， D C ， A D$ 与 $B C$ 交于点E， $△ A B E ∽ △ D C E$ ，下列选项中正确的是（）

A、 $A D ： E D = 2 ： 1$ B、 $A B ： C D = 2 ： 1$ C、 $\frac{A E}{B E} = \frac{C E}{D E}$ D、 $S_{△ A B E} ： S_{△ D C E} = 4 ： 1$

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11. 直角三角形斜边的长为15，两条直角边的差为5．如果要求两条直角边的长，可以设较短的直角边的长为x，从而列出方程： $x^{2} + (x + 5)^{2} = 1 5^{2}$ ．在估计这个方程的正实数根时，下列说法正确的是（）．

A、该方程有一个正实数根 B、可以估计x的范围是 $5 < x < 7$ C、可以估计x的范围是 $7 < x < 8$ D、可以估计x的范围是 $8 < x < 10$

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12. 如图， $A B$ 是半圆的直径，C是半圆弧的中点，D是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，下列结论中正确的是（　　）

A、 $∠ C A D = ∠ D B A$ B、 $C G = C H$ C、 $B C = 2 A D$ D、 $A D^{2} + G D^{2} = B G^{2}$

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三、填空题

13. 若 $(m - 3) x^{| m - 1 |} + (m + 1) x + 4 = 0$ 是关于x的一元二次方程，则m= ．

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14. 如图，小亮测得学校门口栏杆的短臂 $O A$ 长1米，长臂 $O B$ 长4米，当短臂外端A下降0.6米时，长臂外端B升高米．

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15. 如图，小莹沿一条笔直的小路自西向东步行，小莹在A处测得旗杆C在北偏东 $60 °$ 方向，30分钟后小莹到达B处，测得旗杆C在北偏西 $45 °$ 方向，小莹在这条小路上离旗杆最近的距离是1000米，则小莹步行的速度为米/分钟．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

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16. 如图，某古城大门口的平面图上方是半圆，下方是矩形，有一辆装货后宽3米的货车从大门中间进入古城，那么货车装货后的最大高度为米．

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四、解答题

17.

(1)、计算式子 $\sqrt{3} s i n 30 ° + t a n 60 ° c o s 45 ° - 2 s i n 60 °$ 的值；

(2)、根据要求解下列一元二次方程：
① $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ （配方法）；
② $x^{2} - (x + 2) = 4$ （因式分解法）．

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18. 如图，在直角坐标系中， $△ A B O$ 的顶点坐标分别为 $A (6 ， 4) ， B (4 ， 4) ， O (0 ， 0)$ ．

(1)、请在图中标出 $△ A B O$ 外接圆的圆心C，并写出点C的坐标．

(2)、在直角坐标系的第三象限，画出以点O为位似中心，与 $△ A B O$ 位似的图形，使它与 $△ A B O$ 的相似比为 $1 ： 2$ ，并写出点A，B对应点的坐标．

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19. 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知： $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 是 $△ A B C$ 的三个内角．
求证： $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 中不能有两个角是直角．

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 m x + 3 m^{2} = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、方程的两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ 满足 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 5$ ，求实数m的值．

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21. $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， D，F分别是 $\overset{⌢}{A C}$ 与 $\overset{⌢}{A B}$ 上的点， $\overset{⌢}{B F} = \overset{⌢}{D A}$ ．连接 $A F$ 并延长交 $C B$ 的延长线于点E，连接 $A D ， C D$ ．

(1)、求证： $△ A E B ∽ △ C A D$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为边长等于6的等边三角形，且 $A D = 3 ， A E = 8$ ．求 $t a n ∠ D A C$ ．

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22. 如图，小亮站在池塘边，看到水中点A处有一装饰灯，由于光的折射，这个装饰灯的实际位置在点B处， $B A$ 的延长线垂直于水面l，垂足为点C．装饰灯射入小亮眼中的光线与水面l的交点为O，入射角为 $α$ ，折射角为 $β$ ，法线为 $O N$ ，已知装饰灯到水面的距离为m，求点A与点B之间的距离．（用含字母m， $α$ ， $β$ 的式子表示）

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23. 今年以来，某市接待游客人数逐月增加，据统计，八月份和十月份到某景区游玩的游客人数分别为4万人和5.76万人．

(1)、求八月到十月该景区游客人数平均每月的增长率；

(2)、若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：
购票方式
甲
乙
丙
可游玩景点
A
B
A和B
门票价格
100元/人
80元/人
160元/人
据预测，十一月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万人、3万人和2万人，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600名原计划购买甲种门票的游客和400名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．设十一月份景区门票总收入为W万元，丙种门票下降m元，请写出W与m之间的表达式，并求出要想让十一月份门票总收入达到798万元，丙种门票应该下降多少元？

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24. 【阅读理解】：如图，在 $R t △ A B C$ 中，a，b，c分别是 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边， $∠ C = 90 °$ ，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义： $s i n A = \frac{a}{c}$ ， $s i n B = \frac{b}{c}$ ，可得 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = c = 2 R$ ，即 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R$ （规定 $s i n 90 ° = 1$ ）．

(1)、【探究活动】：如图，在锐角 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边，其外接圆半径为R，那么： $\frac{a}{s i n A}$ $\frac{b}{s i n B}$ $\frac{c}{s i n C}$ （用>，=或<连接），并说明理由．

(2)、【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在 $∠ A B C$ 中，a，b，c分别是 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边．已知 $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $b = \sqrt{2}$ ，求 $c$ ．

(3)、【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼 $A B$ 的高度，在A处用测角仪测得地面点C处的俯角为45°，点D处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼 $A B$ 的高度．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $s i n 15 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ ）

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购票方式	甲	乙	丙
可游玩景点	A	B	A和B
门票价格	100元/人	80元/人	160元/人