山东省青岛市西海岸新区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 方程 $x^{2} = 2 x$ 的解是（）

A、 $x = 2$ B、 $x = 0$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 2$ D、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 2$

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2. 对角线长为4cm的正方形其边长为（　　）

A、2cm B、 $2 \sqrt{2}$ cm C、4cm D、 $4 \sqrt{2}$ cm

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3. 四条线段a，b，c，d成比例，其中 $a = 2 c m ， b = 3 c m ， d = 6 c m$ ，则线段c的长为（　　）

A、1cm B、4cm C、9cm D、12cm

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4. 某市初中学业水平实验操作考试，要求九年级的每名学生从物理，化学两个学科中随机抽取一科参加测试，小敏和小慧都抽到化学学科的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{9}$

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5. 某工厂1月份生产机器150台，计划2，3月份共生产396台，设2，3月份生产量的月平均增长率为x，则根据题意列出的方程为（　　）

A、 $150 {(1 + x)}^{2} = 396$ B、 $150 + 150 {(1 + x)}^{2} = 396$ C、 $150 (1 + x) + 150 {(1 + x)}^{2} = 396$ D、 $150 + 150 (1 + x) + 150 {(1 + x)}^{2} = 396$

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6. 将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（　　）

A、1组 B、2组 C、3组 D、4组

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7. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形 $A B C D$ ，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（　　）

A、 $A D = C D$ B、四边形 $A B C D$ 面积不变 C、 $A C = B D$ D、四边形 $A B C D$ 周长不变

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8. 一个钢筋三脚架三边长分别为 $30 c m ， 60 c m ， 80 c m$ ，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为 $40 c m$ 和 $90 c m$ 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（　　）

A、一种 B、两种 C、三种 D、四种或四种以上

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二、填空题

9. 若 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{3}{4} (b + d \neq 0)$ ，则 $\frac{a + c}{b + d}$ =.

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10. 若一元二次方程 $x^{2} + 5 x - 6 = 0$ 的两个根是 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2}$ 的值是．

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11. 比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （约为0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，电视机屏幕的宽与长之比就非常接近这个比例．如果某款电视机屏幕的长为90厘米，则其宽约为厘米．（精确到1厘米）

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12. 如图，将一个边长为10cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，则AC＝cm．

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13. 某种服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，网查发现，若每件降价1元，则每天可多售6件，如果每天要赢利2100元，每件应降价多少元？设该服装每件降价x元，根据题意可列方程．

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E，点F分别是 $A D$ 边和 $B C$ 边的中点， $B E ⊥ A C$ 于点M，连接 $D M ， D F$ ，下列四个结论：① $C M = 2 A M$ ；② $S_{△ A B M} =$ $\frac{4}{9} S_{Δ A B E}$ ；③ $△ A E B ∽ △ D C A$ ；④ $D M ＝ D C$ ，其中正确的结论有．（只填写序号即可）

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三、解答题

15. 已知：线段a，直线l及直线外一点A．
求作：矩形 $A B C D$ ，使得边 $B C$ 在直线l上 $A B ⊥ l$ ，垂足为B，对角线的长度为a．

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16.

(1)、解方程： $x^{2} - 10 x + 9 = 0$ （配方法）；

(2)、解方程： $x (x - 2) = 5$ ；

(3)、关于x的一元二次方程 $a x^{2} - b x + 2 = 0 (a \neq 0)$ 有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时方程的根．

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，两条对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O， $A B = 6 ， O A = 5$ ，求 $A D$ 与 $B D$ 的长．

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18. 如图所示为某商场的一个可以自由转动的转盘，商场规定顾客购物满100元即可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品，如表是活动进行中的统计数据：
转动转盘的次数
50
100
200
500
800
1000
2000
5000
落在“纸巾”区的次数
22
71
109
312
473
612
1193
3004
根据以上信息，解析下列问题：

(1)、请估计转动该转盘一次，获得纸巾的概率是；（精确到0.1）

(2)、现有若干个除颜色外都相同的白球和黑球，根据（1）的结论，在保证获得纸巾和免洗洗手液概率不变的情况下，请你设计一个可行的摸球抽奖规则，详细说明步骤；

(3)、小明和小亮都购买了超过100元的商品，均获得一次转动转盘的机会，根据（2）中设计的规则，利用画树状图或列表的方法求两人都获得纸巾的概率．

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19. 数学思想方法作为数学学科的一般原理，在数学学习中至关重要．我们经常运用类比，转化，从特殊到一般等思想方法来解决一些数学问题．
如图①，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E是 $B C$ 边的中点，点F是线段 $A E$ 上一点， $B F$ 的延长线交 $C D$ 于点 $G$ ．若 $\frac{A F}{E F} = 5$ ，求 $\frac{C D}{C G}$ 的值．
　

(1)、【尝试探究】
在图①中，过点E作 $E H ∥ A B$ 交 $B G$ 于点 $H$ ，则 $\frac{A B}{E H}$ 的值为， $\frac{C G}{E H}$ 的值为， $\frac{C D}{C G}$ 的值为．

(2)、【类比延伸】
如图②，在原题的条件下，若 $\frac{A F}{E F} = m$ ，则 $\frac{C D}{C G}$ 的值为（用含 $m$ 的代数式表示）．

(3)、【拓展迁移】
如图③，若点F在线段 $A E$ 的延长线上， $B F$ 的延长线交 $D C$ 的延长线于点 $G$ ， $\frac{A F}{E F} = n$ ，则 $\frac{C D}{C G}$ 的值为（用含n的代数式表示）．

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20. 光明中学准备在校园里利用围墙（墙长 $15 m$ ）和 $42 m$ 长的篱笆墙围建劳动实践基地．该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案（除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）：利用围墙和篱笆围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，且在Ⅱ区中留一个宽度 $E H = 1 m$ 的水池．已知 $C G = 2 D G$ ，劳动基地的总面积（不包含水池）为 $100 m^{2}$ ，则 $D G$ 的长是多少？

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21. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C ， B D$ 相交于点O，E，F分别是 $O A ， O C$ 的中点．

(1)、求证： $B E = D F$ ；

(2)、连接 $D E ， B F$ ，已知（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形 $D E B F$ 的形状，并证明你的结论．
条件①： $A C = 2 B D$ ；
条件②： $A B = B C$ ．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解容，按第一个解答计分）

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22. 小睿在做数学练习时，遇到下面的题目．
题目：如图（1），在 $△ A B C$ 中，D为 $A C$ 边上一点， $A B = A C ， ∠ D B A = ∠ A ， B D = B C$ ，若 $C D = 1 ， △ B D C$ 的周长为5，求 $A B$ 的长．
小睿的计算结果与参考答案不同，因此她对参考容案产生了质疑，下面是她分析、探究的过程，请你补充完整．
第一步，读题，并标记题目条件如下：
在 $△ A B C$ 中，D为 $A C$ 边上一点，① $A B = A C$ ， ② $∠ D B A = ∠ A$ ；③ $B D = B C$ ， ④ $C D = 1$ ， ⑤ $△ B D C$ 的周长为5．
第二步，根据条件③④⑤，可以求得 $B D = B C =$ ；
第三步，做出 $△ B C D$ ，如图（2）所示；
第四步，根据条件①，在图（2）中作出 $△ A B C$ （尺规作图，保留作图痕迹）；
第五步，对所作图形进行观察、测量，发现与标记的条件不符（填序号），去掉这个条件，题目其他部分保持不变，则 $A B$ 的长为．
小睿：“该题目的已知条件存在自相矛盾的地方，若去掉矛盾的条件后，便可求出 $A B$ 的长．”
老师：“质疑是开启创新之门的钥匙！”

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23. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 8$ cm， $B C = 6$ cm，点M从点A出发，沿折线 $A B$ → $B C$ 以2cm/s速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿 $C A$ 方向以1cm/s的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线 $A C$ 的对称点N，连接 $M N$ 交 $A C$ 于点E，连接 $D M$ ， $D N$ ．设运动时间为t（s）（ $0 < t < 7$ ），请解答下列问题：

(1)、当t为何值时， $M D ∥ B C$ ？

(2)、点M在线段 $B C$ 上运动时，是否存在某一时划t使得 $Δ C M D$ ∽ $Δ C B A$ ？若存在，请求出此刻的t值；若不存在，请说明理由；

(3)、当t为何值时， $Δ D M N$ 为直角三角形？

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转动转盘的次数	50	100	200	500	800	1000	2000	5000
落在“纸巾”区的次数	22	71	109	312	473	612	1193	3004