山东省临沂市莒南县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形中，是中心对称图形的是（）.

A、 B、 C、 D、

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2. 下列关于抛物线 $y = - (x + 2)^{2} + 3$ 的性质说法正确的是（）

A、开口向上 B、顶点坐标是(2，3) C、对称轴是直线x=-2 D、当-5<x≤0时，-6<y≤-1

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3. 如图，点A在反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 第一象限内的图象上，点B在x轴的正半轴上，OA＝AB，△AOB的面积为2，则a的值为（　　）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、1

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4. 关于函数 $y = - \frac{1}{x}$ 的图像，下列说法错误的是（）

A、该函数图象是双曲线 B、经过点 $(1 ， 1)$ C、在第二象限内，y随x的增大而增大 D、是中心对称图，且对称中心是坐标原点

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5. 点A(-2， $y_{1}$ )，B(0， $y_{2}$ )，C(1， $y_{3}$ )为二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 1$ 的图象上的三点，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$

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6. 如图，PA，PB切⊙O 于点A，B，PA＝20，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD 的周长是（）

A、20 B、36 C、40 D、44

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7. 如图，在△ABC中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C = 6$ ，点D，E分别在AC和BC上， $C D = 2$ ，若以DE为直径的⊙O交AB的中点F，则⊙O的直径是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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8. 已知二次函数 $y = - (x - a)^{2} - b$ 的图像如图所示，则一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{a b}{x}$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A、3 B、2 $\sqrt{3}$ C、5 D、 $\sqrt{13}$

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10. 如图正方形 $A B C D$ 和正方形 $E F G H$ 全等，把点A固定在正方形 $E F G H$ 的中心，当正方形 $A B C D$ 绕点A转动时，两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， B C = 6 ， A D ⊥ B C$ 于点 $D ， A D = 4 ， P$ 是半径为2的 $⊙ A$ 上一动点，连结 $P C$ ，若 $E$ 是 $P C$ 的中点，连结 $D E$ ，则 $D E$ 长的最大值为（）

A、3 B、 $3.5$ C、4 D、 $4.5$

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12. 如图所示，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax²+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．
其中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

13. 下列说法中正确的有（填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．

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14. 反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ ，当 $x \geq - 3$ 时，函数值 $y$ 的取值范围．

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15. 如图，P是正方形ABCD内一点，且点P到点B、C、D的距离分别为 $2 \sqrt{3}$ 、 $\sqrt{2}$ 、4，则 $∠ B P C$ 的度数为

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16. 如图，平行于x轴的直线 $A C$ 分别交抛物线 $y_{1} = x^{2} (x \geq 0)$ 与 $y_{2} = \frac{x^{2}}{3} (x \geq 0)$ 于B，C两点，过点C作y轴的平行线交 $y_{1}$ 于点D，直线 $D E ∥ A C$ 交 $y_{2}$ 于点E，则 $\frac{D E}{A B}$ 的值是．

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三、解答题

17. 如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)、写出△ABC三个顶点的坐标；

(2)、画出△ABC关于点C的中心对称图形 $△ A^{'} B^{'} C$ ；

(3)、求出△ABC的面积．

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18. 如图，在 $△$ ABC中，∠B＝90°，AB=6cm，AC=10cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t．

(1)、几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米；

(2)、若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值．

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19. 某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系 $y = - 20 x + 2600$ ．

(1)、该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？

(2)、物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

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20. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E，过点C作 $D B$ 的垂线，交 $A B$ 的延长线于点G，垂足为点F，连结 $A C$ ，其中 $∠ A = ∠ D$ ．

(1)、求证： $A C = C G$ ；

(2)、若 $C D = E G = 8$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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21. 如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=3cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB运动.点Q在射线BA上（在点P的左侧），且PQ=6cm，以线段PQ为斜边向直线AB上方作等腰直角△PQM，设点P的运动时间为x(s)，△PQM与矩形ABCD重叠部分图形的面积为y(cm).

(1)、当点P与点B重合时，直接写出DM的长；

(2)、当△PQM与矩形ABCD重叠部分图形不是三角形，且y>0时，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

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22. 已知，AB是⊙O的直径，AB＝16，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝10，PT为⊙O的切线，切点为T．

(1)、如图（1），当C点运动到O点时，求PT的长；

(2)、如图（2），当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：PO∥BT；

(3)、如图（3），设PT＝y，AC＝x，求y与x的解析式并求出y的最小值．

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23. 若任意两个正数的和为定值，则它们的乘积会如何变化呢？会不会存在最大值？
特例研究：若两个正数的和是1，那么这两个正数可以是： $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{5}$ 和 $\frac{4}{5}$ ， …

由于这样的正数有很多，我们不妨设其中一个正数是 $x$ ，另外一个正数为 $y$ ，那么 $x + y = 1$ ，则 $y = 1 - x$ ，所以 $z = x y = x (1 - x) = - x^{2} + x$ ， $0 < x < 1$ ，可以看出两数的乘积 $z$ 是 $x$ 的二次函数，乘积的最大值转化为求关于 $x$ 的二次函数的最值问题．

方法迁移：

(1)、若两个正数x和y的和是6，其中一个正数为 $x (0 < x < 6)$ ，这两个正数的乘积为z，写出z与x的函数关系式，并画出函数图象．

(2)、在（1）的条件下，z的最大值为：，并写出此时函数图象的至少一个性质．

(3)、问题解决：
由以上题目可知若任意两个正数的和是一个固定的数，那么这两个正数的乘积存在最大值，即对于正数x，y，若x+y是定值，则xy存在最大值．

类比应用：

利用上面所得到的结论，完成填空：

①已知函数 $y_{1} = 2 x - 2 (x > 1)$ 与函数 $y_{2} = - 2 x + 8 (x < 4)$ ，则当x＝时， $y_{1} • y_{2}$ 取得最大值为；

②已知函数y₁＝2x-2+m（x≥1），m为正定值，函数y₂＝-2x+8（x<4），则当x为何值时， $y_{1} • y_{2}$ 取得最大值，最大值是多少？

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