山东省聊城市临清市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则tanB的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{3}$

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2. 如图，D，E是 $△ A B C$ 边上的两个点，请你再添加一个条件，使得 $△ A B C ∽ △ A E D$ ，则下列选项不成立的是（）

A、 $\frac{A B}{A E} = \frac{A C}{A D}$ B、 $\frac{A B}{A E} = \frac{B C}{D E}$ C、 $∠ C = ∠ A D E$ D、 $∠ B = ∠ A E D$

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3. 已知两个相似三角形的周长比为 $2 ： 3$ ，若较大三角形的面积等于 $18 c m^{2}$ ，则较小三角形的面积等于（）

A、 $8 c m^{2}$ B、 $12 c m^{2}$ C、 $27 c m^{2}$ D、 $40.5 c m^{2}$

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4. 如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在 $\overset{⌢}{B A C}$ 上，则∠BAC的度数为（）

A、55° B、65° C、75° D、130°

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5. 已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 78 ° ， A B = 4 ， A C = 6$ ，则下列选项中阴影部分的三角形与原 $△ A B C$ 不相似的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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6. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°} ， A C = 4 ， A B = 5$ ，以点C为圆心，R为半径作圆．若 $⊙ C$ 与边 $A B$ 只有一个公共点，则R的取值范围是（）

A、 $R = \frac{12}{5}$ B、 $3 ⩽ R ⩽ 4$ C、 $0 < R < 3$ 或 $R > 4$ D、 $3 < R ⩽ 4$ 或 $R = \frac{12}{5}$

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7. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，点D在 $△ A B C$ 的外接圆上，则 $s i n ∠ A D C$ 等于（　　）

A、1 B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 如图， $▱ A B C D$ 中，E是 $A B$ 延长线上一点， $D E$ 交 $B C$ 于点F，且 $B E ： A B = 3 ： 2$ ， $A D = 10$ ，则 $C F =$ （　　）

A、2 B、3 C、4 D、6

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9. 如图， $C D$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B$ 是弦， $C D ⊥ A B$ 于E， $D E = 2$ ， $A B = 8$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、8 B、10 C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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10. 等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是（）

A、1： $\sqrt{2}$ B、2：1 C、1： $\sqrt{3}$ D、1∶2

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11. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，点D，E分别在边 $B C$ ， $A C$ 上， $∠ A D E = 60 °$ ，若 $A D = 2$ ， $\frac{B D}{D C} = \frac{1}{2}$ ，则 $D E$ 的长度为（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B < A C$ ，将 $△ A B C$ 以点 $A$ 为中心逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ .下列结论：① $△ A F E ∼ △ D F C$ ；② $D A$ 平分 $∠ B D E$ ；③ $∠ C D F = ∠ B A D$ ，其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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二、填空题

13. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E分别在边 $A B$ ， $A C$ 上，若 $D E ∥ B C$ ， $\frac{A D}{D B} = \frac{2}{3}$ ， $D E ＝ 6 c m$ ，则 $B C$ 的长为cm.

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14. 某滑雪运动员沿坡度为1∶2的斜坡滑下50米，那么他下降的高度为米．

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15. Rt $△$ ABC的斜边为13，其内切圆的半径等于2，则Rt $△$ ABC的周长等于．

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16. 如图，四边形ABCD是 $⊙ O$ 的内接四边形，BE是 $⊙ O$ 的直径，连接AE、BD．若∠BCD＝115°，则∠EBD的大小为．

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17. 如图，一块三角形余料 $A B C$ ，它的边 $B C = 80 c m$ ，高 $A D = 60 c m$ ．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件 $E F G H$ 和 $F G M N$ ，则正方形的边长为cm．

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三、解答题

18. 求下列各式的值：

(1)、 $\sqrt{2} s i n 45 ° - \sqrt{3} t a n 60 °$ ；

(2)、 $c o s^{2} 45 ° + 2 s i n 30 ° - t a n 45 °$ ．

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19. 如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A₁B₁C₁ ．

(1)、在图中标出△ABC与△A₁B₁C₁的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标；

(2)、若以点O为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出△A₁B₁C₁的位似图形△A₂B₂C₂ ，且△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的位似比为2：1（只画一种类型）．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 30 °$ ， $A C = 12$ ， $s i n B = \frac{3}{5}$ ，求 $B C$ 长．

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21. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 是直角，过斜边中点M而垂直于斜边 $B C$ 的直线交 $C A$ 的延长线于E，交 $A B$ 于D，连接 $A M$ .
求证：

(1)、 $Δ A B C ∽ Δ M E C$ ；

(2)、 $A M^{2} = M D \cdot M E$ .

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22. 如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD．
求证：OD＝CD．

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23. 如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与侧面示意图，已知底座矩形BCLK的高 $B K = 19 c m$ ，宽 $B C = 40 c m$ ，底座BC与支架AC所成的角 $∠ A C B = 76 °$ ，支架AF的长为240cm，篮板顶端F到篮筐D的距离 $F D = 90 c m$ （FE与地面LK垂直，支架AK与地面LK垂直，支架HE与FE垂直），篮板底部支架HE与支架AF所成的角 $∠ F H E = 66 °$ ，求篮筐D到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据： $s i n 66 ° \approx \frac{9}{10}$ ， $c o s 66 ° \approx \frac{2}{5}$ ， $t a n 66 ° \approx \frac{9}{4}$ ， $s i n 76 ° \approx 0.97$ ， $c o s 76 ° \approx 0.24$ ， $t a n 76 ° \approx 4.0$ ）

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B C$ 是 $⊙ O$ 的弦， $A E ⊥ O C$ 于点D，交 $B C$ 于F，与过点B的直线交于点E，且 $B E = E F$ ．

(1)、求证： $B E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为10， $O D = 6$ ，求 $B E$ 的长．

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25. 如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．

(1)、在△ABC中，∠A=30．
①如图1，若∠B=100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；
②如图2，若∠B =90°，BC=1，则△ABC的“形似线段”的长是 ▲ ．

(2)、如图3，在DEF中， $D E = 4$ ， $E F = 6$ ， $D F = 8$ ，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．

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