山东省济南市章丘区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列判断中错误的是（）

A、四个角相等的四边形是矩形 B、对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形

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2. 不解方程，判断方程2x²-4x-1＝0的根的情况是（）

A、没有实数根 B、有两个相等实数根 C、有两个不相等实数根 D、无法确定

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3. 若 $\frac{b}{a} = \frac{4}{3}$ ，则 $\frac{a + b}{a}$ （）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 如图，DE∥BC，且EC：BD=2：3，AD=6，则AE的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（）

A、1000（1+x）²＝3990 B、1000+1000（1+x）+1000（1+x）²＝3990 C、1000（1+2x）＝3990 D、1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990

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7. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 分别为16和12， $D E ⊥ A B$ 于点E，则 $D E =$ （）

A、 $\frac{48}{5}$ B、 $\frac{96}{5}$ C、10 D、8

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8. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（）

A、15 B、20 C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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10. 如图，在矩形纸片ABCD中， $A D = 10$ ， $A B = 8$ ，将AB沿AE翻折，使点B落在 $B^{'}$ 处，AE为折痕，再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段 $E B^{'}$ 上的点 $C^{'}$ 处，EF为折痕，连接 $A C^{'}$ ．若 $C F = 3$ ，则 $\frac{B^{^{'}} C^{^{'}}}{A B^{^{'}}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$

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二、填空题

11. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + x - a = 0$ 的一个根是2，则另一个根是．

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12. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AC＝2，则边BC长为．

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13. 梭梭树因其顽强的生命力和防风固沙的作用，被称为“沙漠植被之王”．新疆北部某沙漠2020年有16万亩梭梭树，经过两年的人工种植和自然繁殖，2022年达到25万亩，求这两年的平均增长率．

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14. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k + 2) x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 有实数根，则实数 $k$ 的取值范围是．

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15. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4， $S_{菱形 A B C D} ＝ 24$ ，则OH的长为．

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16. 如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为 $S_{1}$ ，正方形FPQG面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} ： S_{2}$ 的值为．

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三、解答题

17. 解方程：

(1)、 $4 {(x - 1)}^{2} = 9$ ；

(2)、 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ ．

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18. 如图，AD、BC相交于点P，连接AC、BD，且∠1＝∠2，AC＝3，CP＝2，DP＝1，求BD的长．

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19. 如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．

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20. 如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是 $72 m^{2}$ ，则道路的宽应设计为多少m?

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21. 如图， $O$ 为矩形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 的中点， $E F ⊥ A C$ 于点 $O$ ，交 $A D$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ，连接 $A F$ ， $C E$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 为菱形；

(2)、若 $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，求 $A E$ 的长．

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22. 如图，正方形 $A B C D$ 中，E，F分别是边 $A D$ ， $C D$ 上的点， $A E = E D$ ， $D F = \frac{1}{4} D C$ ，连接 $E F$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点G．

(1)、求证： $△ A B E ∼ △ D E F$ ；

(2)、若正方形的边长为6，求 $B G$ 的长．

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23. 某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．

(1)、王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？

(2)、请把图2的条形统计图补充完整；

(3)、若全校参展作品中有四名同学获得一等奖，其中有二名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率．

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24. 如图， $R t △ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 10 c m$ ， $B C = 8 c m$ ．点P从点C出发，以 $2 c m / s$ 的速度沿 $C A$ 向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以 $1 c m / s$ 的速度沿 $B C$ 向点C匀速运动，设点P、Q运动时间为t，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．

(1)、求经过几秒后， $△ P C Q$ 的面积等于 $16 c m^{2}$ ？

(2)、经过几秒， $△ P C Q$ 与 $△ A B C$ 相似？

(3)、①是否存在t，使得 $△ P C Q$ 的面积等于 $20 c m^{2}$ ？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；②设四边形 $A P Q B$ 的面积为S，请直接写出S的最大值或最小值．

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25. 如图1四边形 $A B C D$ 和四边形 $A M P N$ 有公共顶点A

(1)、如图2，若四边形 $A B C D$ 和四边形 $A M P N$ 都是正方形，当正方形 $A M P N$ 绕点A逆时针旋转 $α$ 角（ $0^{°} < α < 18 0^{°}$ ）时，BM和DN的数量关系是，位置关系是；

(2)、如图3，若四边形 $A B C D$ 和四边形 $A M P N$ 都是矩形，且 $\frac{A B}{A D} = \frac{A M}{A N} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ，判断 $B M$ 和 $D N$ 的数量关系和位置关系，并说明理由；

(3)、在（2）的条件下，若 $A B = 2$ ， $A M = 1$ ，矩形 $A M P N$ 绕点A逆时针旋转 $α$ 角（ $0^{°} < α < 18 0^{°}$ ），当 $M N ∥ A B$ 时，求线段 $D N$ 的长．

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26. 如图，在正方形 $A B C D$ 外取一点E，连接 $D E$ ， $A E$ ， $C E$ ，过点D作 $D E$ 的垂线交 $A E$ 于点P，交 $A B$ 于点Q， $D E = D P = 1$ ， $P C = 2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求证：
① $△ A P D ≌ △ C E D$ ；
②求 $∠ A E C$ 的大小；

(2)、求正方形 $A B C D$ 的面积；

(3)、求线段 $P Q$ 的长．

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