山东省济南市市中区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 济南轨道交通4号线于2021年3月6日开工建设，如图是建设现场一个螺栓的示意图，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 某厂从生产的一批零件中抽取2000个进行质量检查，结果发现有10个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（　　）

A、 $\frac{1}{2000}$ B、 $\frac{1}{200}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{10}$

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3. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，直线AC和DF被 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（　　）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 若点A（-2，1）在反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 的图像上，则k的值是（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、- $\frac{1}{2}$

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5. 如图， $A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ， $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{3}$ ，则 $S_{△ A D E} ： S_{△ A B C}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（）

A、 $0.8 c o s 20 °$ B、 $0.8 s i n 20 °$ C、 $\frac{0.8}{s i n 20 °}$ D、 $\frac{0.8}{c o s 20 °}$

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8. 木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m²）的反比例函数，其图象如图所示，当压强不超过400 Pa时，木板的面积应（）

A、不大于1.5 m² B、不小于1.5 m² C、不大于 $\frac{8}{3}$ m² D、不小于 $\frac{8}{3}$ m²

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9. 如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子 $B C$ 长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子 $D E$ 长为（）

A、1米 B、2米 C、3米 D、4米

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10. 谢尔宾斯基地毯是由波兰数学家谢尔宾斯基提出的一种具有“自相似”性质的分形图形：将第1个正方形分成9等份（如图①），挖去中间的小正方形，得到第2个正方形（如图②）；再将余下的8个小正方形分成9等份，挖去中间的小正方形，得到第3个正方形（如图③）；…这样继续进行下去，就得到空格子越来越多的谢尔宾斯基地毯．若图①中大正方形的边长为1，则第4个正方形中阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{16}{27}$ B、 $\frac{64}{81}$ C、 $\frac{128}{243}$ D、 $\frac{512}{729}$

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二、填空题

11. 计算： $\cos 30 ° =$ .

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12. 若 $\frac{a}{b} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ = ．

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13. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是．

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14. 如图所示， $∠ A O B$ 是放置在正方形网格中的一个角，则 $\sin ∠ A O B$ 的值是.

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15. 如图，平行四边形OABC的边OA在x轴上，顶点C在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像上，BC与y轴相交于点D，且D为BC的中点，若平行四边形OABC的面积为8，则k＝．

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16. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内.点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为.

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三、解答题

17. 计算： $（ \frac{1}{2} ）^{- 1}$ ＋2tan60°＋（ $π$ -3）⁰- $\sqrt{12}$ ；

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18. 在如图的方格纸中， $△ O A B$ 的顶点坐标分别为 $O (0 ， 0)$ ， $A (- 2 ， - 1)$ ， $B (- 1 ， - 3)$ ， $△ O_{1} A_{1} B_{1}$ 与 $△ O A B$ 是关于点P为位似中心的位似图形．

( 1 )在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为　．

( 2 )以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出 $△ O A B$ 的一个位似 $△ O A_{2} B_{2}$ ，使它与 $△ O A B$ 的位似比为2：1；

( 3 ) $△ O A B$ 的内部一点M的坐标为 $(a ， b)$ ，直接写出点M在 $△ O A_{2} B_{2}$ 中的对应点 $M_{2}$ 的坐标为　．

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19. 如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，若PB＝3，PC＝1，PD＝2，求PA的长度．

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20. 如图，已知点 $A (4 ， 2)$ ， $B (- 1 ， b)$ 是直线 $y_{1} = 2 x + m$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 图像的交点，且该直线与y轴交于点C．

(1)、填空：b= ；m= ；k= ；

(2)、连接 $O A ， O B$ ，求 $△ A O B$ 的面积；

(3)、根据图像，直接写出不等式 $y_{1} > y_{2}$ 时x的取值范围．

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21. 在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑球的次数m
$\begin{array}{l} 65 \end{array}$
$\begin{array}{l} 118 \end{array}$
$\begin{array}{l} 189 \end{array}$
$\begin{array}{l} 310 \end{array}$
$\begin{array}{l} 482 \end{array}$
$\begin{array}{l} 602 \end{array}$
摸到黑球的频率 $\frac{m}{n}$
$\begin{array}{l} a \end{array}$
$\begin{array}{l} 0.59 \end{array}$
$\begin{array}{l} 0.63 \end{array}$
$\begin{array}{l} 0.62 \end{array}$
$\begin{array}{l} 0.603 \end{array}$
$\begin{array}{l} 0.602 \end{array}$

(1)、填空：a= ；当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近(精确到0.1)；

(2)、某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率．

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22. 北京时间2022年6月5日10时44分，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约 $577$ 秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将陈东、蔡旭哲、刘洋3名航天员送入太空．如图是模拟的火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得 $A R$ 的距离是 $5 k m$ ，仰角为 $39 °$ ；约 $1.5 s$ 后火箭到达B点，此时测得仰角为 $45 °$ （参考数据： $s i n 39 ° \approx 0.63$ ， $c o s 39 ° \approx 0.78$ ， $t a n 39 ° \approx 0.8$ ）．

(1)、求地面雷达站R到发射处L的水平距离．

(2)、求这枚火箭从A到B的平均速度是多少千米/秒？

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23. 小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．

(1)、如图1，垂直于地面放置的正方形框架 $A B C D$ ，边长 $A B$ 为 $30 c m$ ，在其上方点P处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子 $A^{'} B$ ， $D^{'} C$ 的长度和为 $6 c m$ ．那么灯泡离地面的高度 $P M$ 为多少．

(2)、不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为 $30 c m$ 的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子 $A^{'} B$ ， $D^{'} C$ 的长度和为多少？

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24.

(1)、 [问题背景]如图①，已知 $△ A B C ∽ △ A D E$ ，求证： $△ A B D ∽ △ A C E$ ．

(2)、[尝试应用]如图②，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $∠ A B C = ∠ A D E = 30 °$ ， $A C$ 与 $D E$ 相交于点F，点D在 $B C$ 边上， $\frac{A D}{B D} = \sqrt{3}$ ．
①填空： $\frac{A E}{B D} =$ ；
②求 $\frac{D F}{C F}$ 的值．

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25. 如图，在平面直角坐标系中， $C (8 ， 0)$ 、 $B (0 ， 6)$ 是矩形 $A B O C$ 的两个顶点，点D是线段 $A B$ 上的一个动点(不与 $A 、 B$ 重合)，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ ( $k > 0$ )经过点D，与矩形 $A B O C$ 的边 $A C$ 相交于点E．

(1)、如图①，当点D为 $A B$ 中点时，k的值为，点E的坐标为；

(2)、如图②，当点D在线段 $A B$ 上的任意位置时(不与 $A 、 B$ 重合)，连接 $B C 、 D E$ ，求证： $B C ∥ D E$ ；

(3)、是否存在反比例函数上不同于点D的一点F，满足： $△ O D F$ 为直角三角形， $∠ O D F = 90 °$ ，且 $t a n ∠ D O F = \frac{1}{3}$ ，若存在，请直接写出满足以上条件时点D的横坐标，若不存在，请说明理由．

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26. 如图①，已知在正方形 $A B C D$ 中，点E是边 $B C$ 的中点，以 $B E$ 为斜边构造等腰直角 $△ B E F$ ，将 $△ B E F$ 绕点B在平面内作逆时针旋转．

(1)、如图②，当 $∠ E B C = 30 °$ 时，若 $C G = \sqrt{2}$ ，则 $B G =$ ； $A G =$ ；

(2)、如图③，延长 $B E$ ，与 $A C 、 D C$ 分别相交于点 $G 、 N$ ，延长 $B F$ ，与 $A C 、 A D$ 分别相交于点 $H 、 M$ ，求证： $△ A M H ∽ △ C G N$ ；

(3)、如图④，连接 $C E 、 D E$ ，请直接写出当 $\sqrt{2} D E + 4 C E$ 取得最小值时， $∠ E C B$ 的正切值．

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摸球的次数n	100	200	300	500	800	1000
摸到黑球的次数m	$\begin{array}{l} 65 \end{array}$	$\begin{array}{l} 118 \end{array}$	$\begin{array}{l} 189 \end{array}$	$\begin{array}{l} 310 \end{array}$	$\begin{array}{l} 482 \end{array}$	$\begin{array}{l} 602 \end{array}$
摸到黑球的频率 $\frac{m}{n}$	$\begin{array}{l} a \end{array}$	$\begin{array}{l} 0.59 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0.63 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0.62 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0.603 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0.602 \end{array}$