山东省德州市陵城区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）

A、 $y \geq 3 x$ B、 $y = x^{2} + (3 - x) x$ C、 $y = (x - 1)^{2}$ D、 $y = a x^{2} + b x + c$

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2. 如图，将一个含30°角的直角三角板 $A B C$ 绕点A旋转，使得点B，A， $C^{^{'}}$ 在同一条直线上，则旋转角的度数是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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3. 若P(x，3)与点Q(4，y)关于原点对称，则xy的值是(　　)

A、12 B、-12 C、64 D、-64

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4. 如图，在 $△ A O B$ 中， $A O = 1 ， B O = A B = \frac{3}{2}$ ．将 $△ A O B$ 绕点O逆时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $△ A^{'} O B^{'}$ ，连接 $A A^{'} ， B B^{'}$ ，则 $B B^{'} - A A^{'} =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$

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5. 已知二次函数 $y ＝ x^{2} ＋ 3 x - m$ （m为常数）的图像与x轴的一个公共点为（1，0），则关于x的一元二次方程 $x^{2} ＋ 3 x - m ＝ 0$ 的两实数根是（　　）

A、 $x_{1} ＝ 1 ， x_{2} ＝ - 4$ B、 $x_{1} ＝ 1 ， x_{2} ＝ 2$ C、 $x_{1} ＝ 1 ， x_{2} ＝ - 3$ D、 $x_{1} ＝ 1 ， x_{2} ＝ 3$

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6. 如图，已知在 $⊙ O$ 中， $B C$ 是直径， $A B = D C$ ，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $O A = O B = A B$ B、 $∠ A O B = ∠ C O D$ C、 $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{D C}$ D、 $O$ 到 $A B$ 、 $C D$ 的距离相等

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7. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，有下列5个结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $a - b + c > 0$ ；④ $c + 3 a > 0$ ；⑤ $a + b \geq m (a m + b)$ ，其中正确信息的个数有（　　）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 如图， $C D$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $A B ⊥ C D$ 于 $E$ ，连接 $B C$ 、 $B D$ ，下列结论中不一定正确的是（）

A、 $A E = B E$ B、 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B D}$ C、 $O E = D E$ D、 $∠ D B C = 90 °$

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9. 如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠ABC＝70°，则∠BAD的度数是（）

A、50° B、45° C、35° D、30°

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10. 已知点 $A (- 2 ， 3)$ 经变换后到点B，下面的说法正确的是（）

A、点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为 $B (2 ， 3)$ B、点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为 $B (2 ， 3)$ C、点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为 $B (3 ， - 2)$ D、点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为 $B (2 ， 6)$

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11. 如图，已知 $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径，A是半圆弧 $C A B$ 的中点，点D在劣弧 $A C$ 上（不与点A，点C重合）， $B D$ 与 $O A$ 交于点E．设 $∠ A E D = α$ ， $∠ A O D = β$ ，则 $α$ 与 $β$ 之间的数量关系为（　　）

A、 $3 α + β = 18 0^{∘}$ B、 $2 α + β = 18 0^{∘}$ C、 $3 α - β = 9 0^{∘}$ D、 $2 α - β = 9 0^{∘}$

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12. 已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax²+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a= $\frac{1}{2}$ ．
其中正确的是（）

A、①③ B、②③ C、①④ D、①③④

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二、填空题

13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 75 °$ ，在同一平面内将 $△ A B C$ 绕点A旋转到 $△ A B^{'} C^{'}$ 位置，使得 $C C^{'} ∥ A B$ ．则 $∠ B A B^{'} =$ ．

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14. 如图，半圆的半径为5，将三角板的30°角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，则 $A B =$ ．

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15. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y=-0.3x²+1.5x-1，则最佳加工时间为min．

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若它的一个外角 $∠ D C E = 68 °$ ，则 $∠ B O D =$ °．

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17. 定义： $[a ， b ， c]$ 为二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的特征数，下面给出特征数为 $[m ， 1 - m ， 2 - m]$ 的二次函数的一些结论：①当 $m = 1$ 时，函数图象的对称轴是 $y$ 轴；②当 $m = 2$ 时，函数图象过原点；③当 $m > 0$ 时，函数有最小值；④如果 $m < 0$ ，当 $x > \frac{1}{2}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，其中所有正确结论的序号是．

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18. 在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(−1，0)，每一次将△AOB绕着点O顺时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A₁OB₁ ，第二次旋转后得到△A₂OB₂ ， …，依次类推，则点A₂₀₂₂的坐标为．

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三、解答题

19. 已知二次函数 $y = x^{2} + 2 x - 3$ ．

(1)、用配方法把这个二次函数化成 $y = a (x - h)^{2} + k$ 的形式；

(2)、在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；

(3)、当 $- 4 \leq x \leq 0$ 时，结合图象直接写出y的取值范围．

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20. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的位置如图所示，先作△ABC关于原点O成中心对称的△A₁B₁C₁ ，再把△A₁B₁C₁向上平移4个单位长度得到△A₂B₂C₂ ．

(1)、画出△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂ ．

(2)、△A₂B₂C₂与△ABC关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标；

(3)、已知P为x轴上一点．若△ABP的面积为3，直接写出点P的坐标；

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21. 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽AB长为12米．

(1)、请以AB所在直线为x轴（射线AB的方向为正方向），线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式．

(2)、若要搭建一个矩形支架CD－DE－EF，使D，E两点在抛物线上，C，F两点在地面AB上，若AC＝2米，求支架的总长度．

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22. 如图，将等边 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ E F C$ ， $∠ A C E$ 的平分线 $C D$ 交 $E F$ 于点D，连接 $A D 、 A F$ ．

(1)、求 $∠ C F A$ 度数；

(2)、求证： $△ A C D ≌ △ E C D$ ；

(3)、 $A D$ 和 $B C$ 有什么位置关系?请说明理由．

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B D$ 是弦， $C$ 是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，弦 $C E ⊥ A B$ ， H是垂足， $B D$ 交 $C E$ ， $C A$ 于点F，G．

(1)、求证： $C F = B F = G F$ ；

(2)、若 $C D = 6$ ， $A C = 8$ ，求圆O的半径和 $B D$ 长．

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24. 一商店销售某种商品平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低一元，平均每天可多售出两件．

(1)、若每件商品降价2元，则平均每天可售出件；

(2)、每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1600元；

(3)、当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润最大，最大值是多少？

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25. 已知，如图1，四边形 $A B C D$ 是正方形，E，F分别在边 $B C$ 、 $C D$ 上，且 $∠ E A F = 45 °$ ，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．

(1)、在图1中，连接 $E F$ ，为了证明结论“ $E F = B E + D F$ ”，小亮将 $Δ A D F$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；

(2)、如图2，当 $∠ E A F$ 绕点A旋转到图2位置时，试探究 $E F$ 与 $D F$ 、 $B E$ 之间有怎样的数量关系？

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