广东省阳江市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 3 \leq x < 5}$ ， $B = {x | y = \sqrt{4 x + 2}}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $[- 3 ， - \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 5)$ C、 $[- 3 ， - 2)$ D、 $(- 2 ， 5)$

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2. 若 $a ， b \in (0 ， + \infty)$ ，且 $\sqrt{a} + \frac{4}{b} = 9$ ，则 $b + \frac{\sqrt{a}}{a}$ 的最小值为（）

A、9 B、3 C、1 D、 $\frac{1}{3}$

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3. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (4 - x) = f (x)$ ．当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = 3^{x} + a$ ，则 $f (2021) + f (2022) =$ （）

A、7 B、10 C、 $- 10$ D、 $- 12$

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4. 已知函数 $f (x) = 3 a x^{3} - 6 x^{2} + 2$ 有且仅有一个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- ∞ ， - 2) \cup (2 ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， - \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{4}{3}) ∪ (\frac{4}{3} ， + \infty)$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， m)$ ， $\vec{b} = (3 ， 1)$ ，若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角是锐角，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 6 ， + \infty)$ B、 $(- \frac{2}{3} ， + \infty)$ C、 $(- 6 ， \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3} ， + \infty)$ D、 $(- 6 ， - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3} ， + \infty)$

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6. 已知复数 $z = \frac{{(1 - 2 i)}^{2}}{i}$ （i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都相等，D、E分别是BC、 $A_{1} B_{1}$ 的中点，下列说法中正确的是（）

A、 $D E ⊥ B_{1} C_{1}$ B、 $A_{1} C ∥$ 平面 $B_{1} D E$ C、 $C C_{1}$ 与DE是相交直线 D、异面直线 $B_{1} D$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$

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8. 2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按 $[0 ， 10]$ ， $(10 ， 20]$ ， $(20 ， 30]$ ， $(30 ， 40]$ ， $(40 ， 50]$ 分组，分别得到频率分布直方图如下：
估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，方差分别是 $s_{1}^{2}$ 和 $s_{2}^{2}$ ，则（）

A、 $x_{1} > x_{2}$ ， $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$ B、 $x_{1} > x_{2}$ ， $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ C、 $x_{1} < x_{2}$ ， $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$ D、 $x_{1} < x_{2}$ ， $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$

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二、多选题

9. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为F₁ ， F₂ ，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，且 $t a n ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{3}{4}$ ，则（）

A、C的离心率为2 B、C的渐近线方程为 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ C、PM平分 $∠ F_{1} P F_{2}$ D、 $\vec{P A} = \frac{1}{4} \vec{P F_{1}} + \frac{3}{4} \vec{P F_{2}}$

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10. 已知函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上可导，且 $f (0) = - 1$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $(x - 1) [f^{'} (x) - f (x)] > 0$ ，对于函数 $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ ，下列结论正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 在 $(- \infty ， 1)$ 上为减函数 B、 $x = 1$ 是函数 $g (x)$ 的极小值点 C、函数 $g (x)$ 必有 $2$ 个零点 D、 $e^{2} f (e) > e^{e} f (2)$

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11. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为4，Q是 $B C_{1}$ 上一动点，点H在棱 $A A_{1}$ 上，且 $H A_{1} = 1$ ，在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内作边长为1的正方形 $E F G C_{1}$ ， P是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内一动点，且点P到平面 $C D D_{1} C_{1}$ 距离等于线段 $P F$ 的长，下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} Q ∥$ 平面 $A D_{1} C$ B、 $A_{1} Q$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值得最大值为 $\sqrt{2}$ C、 $A_{1} Q + Q C$ 的最小值为 $2 (\sqrt{2} + \sqrt{7})$ D、当点P运动时， $| H P |^{2}$ 的范围是 $[22 ， \frac{113}{4}]$

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12. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x + a)}^{2} + {(y + b)}^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ，且 $a$ ， $b$ 不同时为0）交于不同的两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，下列结论正确的是（）

A、 $2 a x_{1} + 2 b y_{1} + a^{2} + b^{2} = 0$ B、 $a (x_{1} - x_{2}) + b (y_{1} - y_{2}) = 0$ C、 $x_{1} + x_{2} = - a$ ， $y_{1} + y_{2} = - b$ D、 $M$ ， $N$ 为圆 $C_{2}$ 上的两动点，且 $| M N | = \sqrt{3} r$ ，则 $| \vec{O M} + \vec{O N} |$ 的最大值为 $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + r$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = A s i n ω x (A > 0 ， ω > 0)$ ，若至少存在两个不相等的实数 $x_{1} ， x_{2} \in [π ， 2 π]$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 2 A$ ，则实数 $ω$ 的取值范围是．

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14. 已知非零平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = 4$ ，且 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = - 1$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，且 $θ \in [\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ ，则 $\vec{c}$ 的模取值范围是.

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15. 阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上任意一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ．若已知△ABC内接于椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则 $\frac{S_{△ D E F}}{S_{△ A B C}} =$ ．

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16. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的左､右顶点分别为 $A ， B$ ，过点 $M (2 ， 0)$ 的直线 $l$ 交该双曲线 $C$ 于点 $P ， Q$ ，设直线 $P A$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $Q B$ 的斜率为 $k_{2}$ ，已知 $l ⊥ x$ 轴时， $\frac{k_{1}}{k_{2}} = - \frac{1}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率 $e =$ ；若点 $P$ 在双曲线右支上，则 $k_{2}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 对于项数为 $m$ 的有穷数列 ${a_{n}}$ ，设 $b_{n}$ 为 $a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n} (n = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， m)$ 中的最大值，称数列 ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.

(1)、若各项均为正整数的数列 ${a_{n}}$ 的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的 ${a_{n}}$ ；

(2)、设 ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的控制数列，满足 $a_{n} + b_{m - n + 1} = C$ （ $C$ 为常数， $n = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， m$ ）.证明： $b_{n} = a_{n} (n = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， m)$ .

(3)、考虑正整数 $1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， m$ 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列 ${c_{n}}$ .是否存在数列 ${c_{n}}$ ，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列 ${c_{n}}$ 的个数；若不存在，请说明理由.

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18. 某校为了解疫情期间学生线上学习效果，进行一次摸底考试，从中选取60名同学的成绩（百分制，均为正数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：

(1)、求分数在 $[70 ， 80)$ 内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)、根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的均值；

(3)、根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要多少分？

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19. 如图，在四面体ABCD中， $△ A B C$ 是正三角形， $△ A C D$ 是直角三角形， $∠ A B D = ∠ C B D$ ， AB=BD．

(1)、求证：平面 $A C D ⊥$ 平面ABC；

(2)、若 $\vec{D E} = m \vec{D B}$ ，二面角 $D - A E - C$ 的余弦值为 $\frac{1}{7}$ ，求m．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上､下焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左､右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，且四边形 $A_{1} F_{1} A_{2} F_{2}$ 是面积为8的正方形.

(1)、求C的标准方程.

(2)、M，N为C上且在y轴右侧的两点， $M F_{1} / / N F_{2}$ ， $M F_{2}$ 与 $N F_{1}$ 的交点为P，试问 $| P F_{1} | + | P F_{2} |$ 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

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21. 如图，已知F是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 $| M F | = 2$ ，

(1)、求抛物线的方程；

(2)、设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 $M A ， M B ， A B$ ，x轴依次交于点P ， Q ， R ， N ，且 ${| R N |}^{2} = | P N | \cdot | Q N |$ ，求直线l在x轴上截距的范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x (1 - l n x)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $a$ ， $b$ 为两个不相等的正数，且 $b l n a - a l n b = a - b$ ，证明： $2 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < e$ .

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