广东省清远市四校2022-2023学年高一上学期数学联合学业质量检测试卷

试卷更新日期：2022-12-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x ≤ 1}$ ， $B = {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 1}$ B、 ${x | 0 ≤ x ≤ 1}$ C、 ${x | 0 < x ≤ 4}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. 已知命题p：“ $\exists a > 0$ ，有 $a + \frac{1}{a} < 2$ 成立”，则命题p的否定为（）

A、 $\forall a \leq 0$ ，有 $a + \frac{1}{a} ≥ 2$ 成立 B、 $\forall a > 0$ ，有 $a + \frac{1}{a} ≥ 2$ 成立 C、 $\exists a \leq 0$ ，有 $a + \frac{1}{a} ≥ 2$ 成立 D、 $\exists a > 0$ ，有 $a + \frac{1}{a} ≥ 2$ 成立

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3. 若不等式 $| x - 1 | < a$ 成立的充分条件为 $0 < x < 3$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 2$ B、 $a \geq 1$ C、 $a \leq 2$ D、 $a \leq 1$

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4. 已知 $l o g_{2} a + l o g_{2} b = 0$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b > 0$ 且 $b \neq 1$ ），则函数 $f (x) = {(\frac{1}{a})}^{x}$ 与 $g (x) = l o g_{b} x$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 区块链作为一种新型技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，若某个密码的长度设定为1024 $B$ ，则密码一共有 $2^{1024}$ 种可能，为了破解该密码，计算机在一般状态下，最多需要进行 $2^{1024}$ 次运算.现在有一台计算机，每秒能进行 $2.5 \times 1 0^{14}$ 次运算，那么该计算机在一般状态下破译该密码所需的最长时间大约为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3 ， \sqrt[5]{1 0^{4}} \approx 6.310$ ）

A、 $6.310 \times 1 0^{292} s$ B、 $3.232 \times 1 0^{292} s$ C、 $6.310 \times 1 0^{288} s$ D、 $3.232 \times 1 0^{288} s$

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6. 偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对于任意 $x_{1} ， x_{2} \in (- \infty ， 0] (x_{1} \neq x_{2})$ ，均有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，若 $f (1 - a) < f (2 a - 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{2}{3} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0) \cup (\frac{2}{3} ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{2}{3})$ D、 $(0 ， \frac{2}{3}]$

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7. 已知幂函数 $f (x)$ 的图像经过点 $A (8 ， 2)$ 与点 $B (27 ， t)$ ，若 $a = t^{0.1} ， b = 0 . 3^{t} ， c = l o g_{0.2} t$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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8. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} | l n (- x) | ， x < 0 \\ x^{2} - 4 x + 5 ， x \geq 1 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = m (m \in R)$ 有四个不同的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4}$ 的取值范围是（）

A、（3，4） B、（2，4） C、[0，4） D、[3，4）

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二、多选题

9. 已知不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x | 2 < x < 3}$ ，则以下选项正确的有（）

A、 $a < 0$ B、 $c > 0$ C、 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 ${x | \frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}}$ D、 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 ${x | x < \frac{1}{3}$ 或 $x > \frac{1}{2}}$

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10. 下列说法正确的有（）

A、若 $x < \frac{1}{2}$ ，则 $2 x + \frac{1}{2 x - 1}$ 的最大值是 $- 1$ B、若 $x ， y ， z$ 都是正数，且 $x + y + z = 2$ ，则 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y + z}$ 的最小值是3 C、若 $x > 0 ， y > 0 ， x + 2 y + 2 x y = 8$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值是2 D、若 $a > 0 ， b > 0 ， \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $\frac{1}{a - 1} + \frac{4}{b - 1}$ 的最小值是4

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11. 给定函数 $f (x) = | x |$ ， $g (x) = \frac{1}{x}$ ， $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较小者，记为 $m (x) = m i n {f (x) ， g (x)}$ ，则（）

A、 $m (- 1) = - 1$ B、函数 $m (x)$ 的定义域为 $(- ∞ ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ C、函数 $m (x)$ 的值域为 $(- \infty ， 1)$ D、函数 $m (x)$ 的单调区间有3个

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $(0 ， + ∞)$ ，且 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ ， $f (2) = - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是减函数 C、 $f (\frac{1}{2022}) + f (\frac{1}{2021}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{2}) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (2021) + f (2022) = 2022$ D、不等式 $f (\frac{1}{x}) - f (x - 3) \geq 2$ 的解集为 $[4 ， + \infty)$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = - x^{2} - x$ ，则 $f (x) =$ ．

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14. 函数 $y = l o g_{2} (x^{2} - 4 x + 3)$ 的单调递增区间为.

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15. 已知 $f (x) = l n (x^{2} + 2 x + m)$ ．若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若函数 $f (x)$ 满足条件：存在 $[a ， b] \subseteq D$ ，使 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上的值域是 $[\frac{a}{2} ， \frac{b}{2}]$ ，则称 $f (x)$ 为“倍缩函数”．若函数 $f (x) = l o g_{3} (3^{x} + t)$ 为 “倍缩函数”，则实数 $t$ 的取值范围是．

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四、解答题

17.

(1)、计算 $\frac{\sqrt{m} \sqrt[3]{m} \sqrt[4]{m}}{{(\sqrt[6]{m})}^{5} m^{\frac{1}{4}}} (m > 0)$ ；

(2)、若 $x l o g_{3} 4 = 1$ ，求 $4^{x} + 4^{- x}$ 的值．

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18. 已知集合 $A = {x | a \leq x \leq a + 2}$ ， $B = {x | x < - 1$ 或 $x > 4}$ ，全集 $U = R$ ．

(1)、若 $a = - 2$ ，求 $A \cap B$ ， $A \cap (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x - 2 b}{x^{2} + 1} (- 1 ≤ x ≤ 1)$ ，且 $f (x)$ 为奇函数．

(1)、求b，然后判断函数 $f (x)$ 的单调性并用定义加以证明；

(2)、若 $f (k - 1) + f (2 k - 1) < 0$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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20. 函数 $g (x) = x^{2} - 2 a x + 2 a - 1$ ．

(1)、若 $g (x)$ 的最小值为0，求a的值；

(2)、对于集合 $A = {m | 1 \leq m \leq 5}$ ，若任意的 $m \in A$ ，总存在 $x \in [- 2 ， 2]$ ，使得 $m = g (x)$ 成立，求实数a的取值范围．

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21. 随着网络经济的到来，购买商品的方式和策略也是多种多样，当然不同的购物策略所获得的优惠也各不一样．小明同学做了一个数学实验，两次购买同一种学习用品，采取两种不同的策略，实验一是不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；实验二是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．请你协助小明完成实验的结论：哪种购物方式比较经济？请写出推理，证明过程．

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22. 已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ，其反函数为 $g (x)$ ．

(1)、定义在 $x \in [2 ， 8]$ 的函数 $F (x) = {[g (x)]}^{2} - 4 g (x) + 3$ ，求F（x）的最小值；

(2)、设函数 $τ (x)$ 的定义域为D，若 $\exists x \in D$ 有 $- x \in D$ ，且满足 $τ (- x) + τ (x) = 0$ ，我们称函数 $τ (x)$ 为“奇点函数”．已知函数 $h (x) = {\begin{array}{l} {[f (x)]}^{2} - 2 m f (x) - 3 ， x \geq - 1 \\ - 3 ， x < - 1 \end{array}$ 为其定义域上的“奇点函数”，求实数m的取值范围．

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