广东省六校2023届高三上学期数学第三次联考试卷

试卷更新日期：2022-12-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设全集为 $R ， B = {x | \frac{1}{x} + 1 \geq 0}$ ，则 $∁_{R} B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x < 0}$ B、 ${x ∣ - 1 \leq x < 0}$ C、 ${x ∣ - 1 < x \leq 0}$ D、 ${x ∣ - 1 \leq x \leq 0}$

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2. 若复数 $z \cdot (1 - i) = 2 i$ ，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 某学校要求学生居家学习期间要坚持体育锻炼，为了解学生休育锻炼的情况，学校随机抽取了部分学生，对他们一天内的体育锻炼时长进行了统计，统计数据如下表所示：
锻炼时长（分钟）
30
40
50
60
80
学生人数
6
10
9
8
7
可以估计该学校学生一天内体育锻炼时长的众数及第40百分位数分别是（）

A、40，45 B、40，40 C、50，40 D、40，50

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4. 已知实数 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = c o s \frac{π}{4}$ ， $c = l o g_{3} 2$ ，则这三个数的大小关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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5. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = \frac{5 π}{6}$ ， $∠ B A C = \frac{π}{6}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ， $A C = 4$ .若 $\vec{A C} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、6

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6. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过34，则该塔形中正方体的个数至少是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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7. 已知圆 $C ： {(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ 和两点 $A (m ， 0)$ ， $B (0 ， m)$ ，若圆 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[3 - \sqrt{2} ， 3 + \sqrt{2}]$ B、 $[2 \sqrt{2} ， 4 \sqrt{2}]$ C、 $[- 4 ， - 2]$ D、 $[2 ， 4]$

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8. 已知 $a > 1$ ， $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 为函数 $f (x) = a^{x} - x^{2}$ 的零点， $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，若 $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$ ，则（）

A、 $\frac{x_{3}}{x_{2}} < 2 l n a$ B、 $\frac{x_{3}}{x_{2}} = 2 l n a$ C、 $\frac{x_{3}}{x_{2}} > 2 l n a$ D、 $\frac{x_{3}}{x_{2}}$ 与 $2 l n a$ 大小关系不确定

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二、多选题

9. 已知随机事件A，B发生的概率分别为 $P (A) = 0.3 ， P (B) = 0.6$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $P (A B) = 0.18$ ，则A，B相互独立 B、若A，B相互独立，则 $P (B | A) = 0.6$ C、若 $P (B | A) = 0.4$ ，则 $P (A B) = 0.12$ D、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A | B) = 0.3$

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10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $B_{1} C$ 上运动，则下列结论正确的有（）

A、直线 $B D_{1}$ ⊥平面 $A_{1} C_{1} D$ B、直线 $A P$ $∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ C、异面直线AP与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ D、三棱锥 $A_{1} - P C_{1} D$ 体积为定值

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4})$ （ $ω > 0$ ）在区间 $[0 ， π]$ 上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上有且仅有3个不同的零点 B、 $f (x)$ 的最小正周期可能是 $\frac{π}{2}$ C、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{13}{4} ， \frac{17}{4})$ D、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{15})$ 上单调递增

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12. 若函数 $f (x) = \ln x + a (x^{2} - 2 x + 1) (a \in R)$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 至少有一个零点 B、 $a < 0$ 或 $a > 2$ C、 $0 < x_{1} < \frac{1}{2}$ D、 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 1 - 2 \ln 2$

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三、填空题

13. 已知 ${(x - \frac{a}{x})}^{6}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为60，则实数 $a =$ .

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14. 设计一个圆锥形包装盒，能把一个半径为1的小球完全装入这个盒子（底面密封），那么这种圆锥形盒子的体积的最小值是.

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15. 函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减，且 $f (2 + x) + f (2 - x) = 0$ ，对于住意的 $A \in [0 ， π]$ ，均有 $f (m + 3 s i n A) + f (4 - \sqrt{3} c o s A) \geq 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值为.

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16. 黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数 $ξ (n) = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{- s} = \frac{1}{1^{s}} + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + ⋯$ ，我们经常从无穷级数的部分和 $\frac{1}{1^{s}} + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + ⋯ + \frac{1}{n^{s}}$ 入手.请你回答以下问题： $[\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + ⋯ + \frac{1}{1 0^{2}}] =$ ，（其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数， $[- 3.5] = 4 ， [2] = 2$ .）；已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{1}{a_{n}})$ ，则 $[\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + ⋯ + \frac{1}{S_{2023}}] =$ .

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四、解答题

17. 某研究性学习小组对某植物种子的发芽率y与环境平均温度x（℃）之间的关系进行研究，他们经过5次独立实验，得到如下统计数据：
第n次
1
2
3
4
5
环境平均温度x/℃
18
19
20
21
22
种子发芽率y
62%
69%
71%
72%
76%
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ .

(1)、若从这5次实验中任意抽取2次，设种子发芽率超过70%的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望；

(2)、根据散点图可以发现，变量y与x之间呈线性相关关系．如果在第6次实验时将环境平均温度仍然控制在21℃，根据回归方程估计这次实验中该植物种子的发芽率．

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18. 某公园要建造如图所示的绿地 $O A B C ， O A ､ O C$ 为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米且 $∠ B A O = ∠ B C O$ .设 $∠ B A O = α (0 < α < \frac{π}{2})$ .

(1)、当 $A B = 3 ， α = \frac{π}{3}$ 时，求 $O B$ 的长；

(2)、当 $A B = 6$ 时，求 $O A B C$ 面积 $S$ 的最大值及此时 $α$ 的值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - 2 n + 2 (n \in N^{*})$ .数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 满足关系式 $T_{n} = 1 - b_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}} ､ {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $R_{n}$ ，求证： $\frac{1}{2} \leq R_{n} < 2$ .

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20. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形， $P D ⊥$ 底面ABCD， $∠ B A D = ∠ C D A = 90 °$ ， $A D = A B = 1$ ， $C D = 2$ ，E为PA的中点．

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面BCE；

(2)、若二面角P-BC-E的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ ，求三棱锥P-BCE的体积．

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21. 已知椭圆C的焦点坐标为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ 和 $F_{2} (1 ， 0)$ ，且椭圆经过点 $G (1 ， \frac{3}{2})$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若 $T (1 ， 1)$ ，椭圆C上四点M，N，P，Q满足 $\vec{M T} = 3 \vec{T Q}$ ， $\vec{N T} = 3 \vec{T P}$ ，求直线MN的斜率.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a s i n x - 1 (a > 0)$ 在区间 $(0 ， π)$ 内有唯一极值点 $x_{1}$ ．

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、证明： $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 内有唯一零点 $x_{2}$ ，且 $x_{2} < 2 x_{1}$ ．

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第n次	1	2	3	4	5
环境平均温度x/℃	18	19	20	21	22
种子发芽率y	62%	69%	71%	72%	76%

锻炼时长（分钟）	30	40	50	60	80
学生人数	6	10	9	8	7