广东省惠州市博罗县2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x \in N^{*} ∣ x \leq 7}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4} ， B = {1 ， 3 ， 5}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ B、 ${0 ， 1 ， 3 ， 5 ， 6 ， 7}$ C、 ${0 ， 6 ， 7}$ D、 ${6 ， 7}$

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2. 命题“对任意 $a \in R$ ，都有 $a^{2} \geq 0$ ”的否定为（）

A、对任意 $a \in R$ ，都有 $a^{2} < 0$ B、对任意 $a \notin R$ ，都有 $a^{2} < 0$ C、存在 $a \in R$ ，使得 $a^{2} < 0$ D、存在 $a \notin R$ ，使得 $a^{2} < 0$

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3. 设集合 $A = {x | 1 < x < 2}$ ， $B = {x | x > a}$ ，若 $A ⊆ B$ ，则 $a$ 的范围是（）

A、 $a \geq 2$ B、 $a \leq 1$ C、 $a \geq 1$ D、 $a \leq 2$

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4. 设 $M = 2 a (a - 2) ， N = (a + 1) (a - 3)$ ，则（）

A、 $M > N$ B、 $M \geq N$ C、 $M < N$ D、 $M ≤ N$

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5. “ $0 < x < 2$ ”是“ $x^{2} - x - 6 < 0$ ”的（）

A、必要而不充分条件 B、充分而不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x)$ 为一次函数，且 $f (3) = 7 ， f (5) = - 1$ ，则 $f (1) =$ （）

A、 $15$ B、 $- 15$ C、 $9$ D、 $- 9$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 - x ， x < 0 \\ 2 - x^{2} ， x \geq 0 \end{array}$ ，则不等式 $f (2 a + 1) > f (3 a - 4)$ 的解集为（）．

A、 $(5 ， + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 5)$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{2})$

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8. 历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数： $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in Q_{c} \end{array}$ (其中 $Q$ 为有理数集， $Q_{c}$ 为无理数集)，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为： $D (x) = {\begin{array}{l} a ， x \in Q \\ b ， x \in Q_{c} \end{array}$ (其中 $a ， b \in R$ ，且 $a \neq b$ )，以下对 $D (x)$ 说法错误的是（）

A、定义域为 $R$ B、当 $a > b$ 时， $D (x)$ 的值域为 $[b ， a]$ ；当 $a < b$ 时， $D (x)$ 的值域为 $[a ， b]$ C、 $D (x)$ 为偶函数 D、 $D (x)$ 在实数集的任何区间上都不具有单调性

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二、多选题

9. 与不等式 $x^{2} - x + 2 > 0$ 的解集相同的不等式有（）

A、 $- x^{2} + x - 2 < 0$ B、 $2 x^{2} - 3 x + 2 > 0$ C、 $x^{2} - x + 3 \geq 0$ D、 $x^{2} + x - 2 > 0$

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10. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知 $A = {x | x = 3 n + 2 ， n \in N_{+}}$ ， $B = {x | x = 5 n + 3 ， n \in N_{+}}$ ， $C = {x | x = 7 n + 2 ， n \in N_{+}}$ ，若 $x \in A \cap B \cap C$ ，则下列选项中符合题意的整数 $x$ 为（）

A、8 B、128 C、37 D、23

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11. 有以下判断，其中是正确判断的有（）

A、 $f (x) = \frac{| x |}{x}$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \geq 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ 表示同一函数 B、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 1$ 的交点最多有1个 C、已知 $f (x) = a x^{3} + b x + 1 (a b \neq 0)$ ，若 $f (2022) = k ，$ 则 $f (- 2022) = 2 - k$ ． D、若 $f (x) = | x - 1 | - x$ ，则 $f (f (\frac{1}{2})) = 0$

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12. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ $=$ ”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“ $<$ ”和“ $>$ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为 $a$ 和 $b (0 < a < b)$ ，其全程的平均速度为 $v$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a < v < \sqrt{a b}$ B、 $v = \sqrt{a b}$ C、 $\sqrt{a b} < v < \frac{a + b}{2}$ D、 $v = \frac{2 a b}{a + b}$

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三、填空题

13. 已知 $m$ 为常数，函数 $y = (2 m^{2} + m - 2) x^{2 m + 1}$ 为幂函数，则 $m$ 的值为；

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14. 已知 $- 1 \leq a \leq 3$ ， $1 \leq b \leq 2$ ，则 $2 a - b$ 的范围是．

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15. 已知 $y = f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x - 1$ ，则不等式 $x \cdot f (x) < 0$ 的解集为.

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16. 非空有限数集 $S$ 满足：若 $a$ ， $b \in S$ ，则必有 $a^{2}$ ， $b^{2}$ ， $a b \in S$ ．则满足条件且含有两个元素的数集 $S =$ ．（写出一个即可）

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四、解答题

17. 已知集合 $U = {x | 1 \leq x \leq 7}$ ， $A = {x | 2 \leq x < 5}$ ， $B = {x | 3 < x \leq 7}$ ．

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、求 $(∁_{U} A) ∪ B$ ．

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18.

(1)、已知 $f (x)$ 是二次函数，且满足 $f (0) = 1$ ， $f (x + 1) - f (x) = 2 x$ ，求 $f (x)$ 解析式；

(2)、已知 $f (x + 1) = 2 x^{2} + 3 x + 2$ ，求 $f (x)$ 的解析式．

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19. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ .

(1)、用单调性定义证明函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 2)$ 上为减函数；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， - 1]$ 上的最大值.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x + m$ .

(1)、当 $m = - 2$ 时，求不等式 $f (x) ＞ 0$ 的解集；

(2)、若 $m > 0$ 时， $f (x) < 0$ 的解集为 $(a ， b)$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值.

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21. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，现已画出函数 $f (x)$ 在 $y$ 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．

(1)、补充完整图象并写出函数 $f (x) (x \in R)$ 的增区间；

(2)、写出函数 $f (x) (x \in R)$ 的解析式；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) - 2 a x + 1 (x \in [1 ， 2])$ ，求函数 $g (x)$ 的最小值．

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22. 为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品，经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本 $2$ 万元，每生产 $x$ 万件，需另投入波动成本 $W (x)$ 万元，已知在年产量不足 $4$ 万件时， $W (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 4 x$ ，在年产量不小于 $4$ 万件时， $W (x) = 7 x + \frac{64}{x} - 27$ ，每件产品售价 $6$ 元，通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.

(1)、写出年利润 $P (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万件）的函数解析式（年利润 $=$ 年销售收入 $-$ 固定成本 $-$ 波动成本．）

(2)、年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？

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