甘肃省陇南、临夏、甘南三地2022-2023学年高三上学期理数期中联考试卷

试卷更新日期：2022-12-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 集合A＝{x∈N|－1＜x＜4}的真子集个数为（）

A、7 B、8 C、15 D、16

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2. 设直线 $l$ 的方向向量是 $\vec{a}$ ，平面 $α$ 的法向量是 $\vec{n}$ ，则“ $\vec{a} ⊥ \vec{n}$ ”是“ $l / / α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 命题“ $\forall x \in R$ ， $| x | - x + 1 \neq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $| x | - x + 1 \neq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $| x | - x + 1 = 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $| x | - x + 1 = 0$ D、 $\forall x \notin R$ ， $| x | - x + 1 \neq 0$

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4. 函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ 的定义域为（）

A、 $(- ∞ ， 2)$ B、 $(2 ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， - 2] \cup [2 ， + ∞)$ D、 $(- ∞ ， - 2) \cup (2 ， + ∞)$

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5. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $a_{6} = 5$ ，则 $S_{11}$ 的值是（）

A、60 B、11 C、50 D、55

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6. 点 $P (4 ， - 2)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上任意一点连线的中点的轨迹方程是（）

A、 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 1$ B、 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ C、 $(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ D、 $(x + 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$

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7. 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，6)、B(－4，3)、C(2，－3)，则点A到BC边的距离为 (　　)

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、4 $\sqrt{3}$

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8. 已知，过A(1，1)、B(1，－3)两点的直线与过C(－3，m)、D(n，2)两点的直线互相垂直，则点(m，n)有 (　　)

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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9. 直线 $(a - 1) x - (2 a - 1) y + 1 = 0$ 恒过一定点，则此定点为（）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 1)$

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10. 如图所示， $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是棱长为 $6$ 的正方体， $E$ 、 $F$ 分别是棱 $A B$ 、 $B C$ 上的动点，且 $A E = B F$ .当 $A_{1}$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $C_{1}$ 共面时，平面 $A_{1} D E$ 与平面 $C_{1} D F$ 所成锐二面角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

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11. 若偶函数 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， - 1]$ 上是增函数，则（）

A、 $f (- \frac{3}{2}) < f (- 1) < f (2)$ B、 $f (2) < f (- \frac{3}{2}) < f (- 1)$ C、 $f (2) < f (- 1) < f (- \frac{3}{2})$ D、 $f (- 1) < f (- \frac{3}{2}) < f (2)$

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12. 已知F是双曲线C： $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则 $△ A P F$ 的面积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

13. 已知 $f (x + 1)$ 的定义域为[-2，3)，则 $f (x - 2)$ 的定义域是.

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14. 已知 $n \in {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，若 ${(- \frac{1}{2})}^{n} > {(- \frac{1}{3})}^{n}$ ，则n＝．

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15. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} + \frac{1}{2^{n}}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + ⋯ + S_{9} =$ .

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16. 已知直线l₁经过点A(0，－1)和点B(－ $\frac{4}{a}$ ， 1)，直线l₂经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l₁与l₂没有公共点，则实数a的值为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x + 3$ ， $x \in [- 4 ， 6]$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，求 $f (x)$ 的最值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[- 4 ， 6]$ 上是单调函数，求实数a的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 6 ， x \leq 0 \\ x^{2} - 2 x + 2 ， x > 0 \end{array}$ .

(1)、求不等式 $f (x) > 5$ 的解集；

(2)、若方程 $f (x) - \frac{m^{2}}{2} = 0$ 有三个不同实数根，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 与通项 $a_{n}$ 满足 $S_{n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $f (x) = l o g_{3} x$ ， $b_{n} = f (a_{1}) + f (a_{2}) + ⋯ + f (a_{n})$ ， $T_{n} = \frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + ⋯ + \frac{1}{b_{n}}$ ，求 $T_{2019}$ .

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20. 如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 为正三角形， $A_{1}$ 在底面 $△ A B C$ 上的射影是棱 $B C$ 的中点 $O$ ， $O E ⊥ A A_{1}$ 于 $E$ 点.

(1)、证明 $O E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、若 $A A_{1} = \sqrt{3} A B$ ，求 $A C$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成角的正弦值.

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21. 已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．

(1)、点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；

(2)、求点A(5，0)到l的距离的最大值．

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22. 已知椭圆 $M$ 与椭圆 $N : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 有相同的焦点，且椭圆 $M$ 过点 $(- 1, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

(1)、求椭圆 $M$ 的标准方程；

(2)、设椭圆 $M$ 的焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆 $M$ 上，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为1，求点 $P$ 的坐标.

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