河南省郑州市中原区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 6 x = 5$ 时，此方程可变形为（　　）

A、 ${(x + 3)}^{2} = 14$ B、 ${(x - 3)}^{2} = 4$ C、 ${(x + 3)}^{2} = 9$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 14$

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2.
如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列说法正确的是（）

A、矩形的对角线互相垂直平分 B、对角线相等的菱形是正方形 C、两邻边相等的四边形是菱形 D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

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4. 如图，直线 $a // b$ ，一块含60°角的直角三角板ABC(∠A＝60°)按如图所示放置.若∠1＝55°，则∠2的度数为（）

A、105° B、110° C、115° D、120°

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5. 一元二次方程 $2 x^{2} - 5 x - 2 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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6. 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm²的长方形，a的值不可能为（）

A、20 B、40 C、100 D、120

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7. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，P是对角线 $A C$ 上一动点，过点P作 $P E ⊥ B C$ 于点E. $P F ⊥ A B$ 于点F.若菱形 $A B C D$ 的周长为20，面积为24，则 $P E + P F$ 的值为（）

A、4 B、 $\frac{24}{5}$ C、6 D、 $\frac{48}{5}$

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8. 用如图所示的两个转盘（分别进行四等分和三等分），设计一个“配紫色”的游戏，分别转动两个转盘（指针指向区域分界线时，忽略不计），若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{7}{12}$

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9. 新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（）.

A、24 B、25 C、26 D、27

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10. 如图，已知正方形 $A B C D$ ，顶点 $A (1 ， 3)$ ， $B (1 ， 1)$ ， $C (3 ， 1)$ ，规定“把正方形 $A B C D$ 先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2019次变换后，正方形 $A B C D$ 的对角线交点M的坐标变为（　　）

A、 $(- 2018 ， - 2)$ B、 $(- 2019 ， - 2)$ C、 $(- 2017 ， - 2)$ D、 $(- 2017 ， 2)$

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二、填空题

11. 方程 $(x + 1) (x - 2) = 0$ 的解是.

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12. 在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，该班小明和小亮同学被分在同一组的概率是.

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13. 如图， $A D ∥ B E ∥ C F$ ，直线 $l_{1} ， l_{2}$ 与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F， $A B = 2 ， B C = 4 ， D F = 9$ ，则 $E F$ 的值为

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14. 如图，乐器上的一根弦 $A B = 80 c m$ ，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点（即 $A C$ 是 $A B$ 与 $B C$ 的比例中项），求 $A C$ =.

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是.

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三、解答题

16. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 24 = 0$ ；

(2)、 $3 x^{2} + 4 x - 7 = 0$

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17. 疫情期间，老师们利用各种直播软件为孩子们进行答疑解惑，给孩子们提供了全方位的帮助和指导，网课的展开也让各种直播软件逐渐进入了大家的视野，初二年级学生会就同学们对各种直播软件的喜爱度展开了调查，随机抽取了部分师生和家长的问卷，并将结果绘制成了不完整的统计图，如图所示，请结合图中的信息解答下列问题：

(1)、这次调查中，一共抽取了人的问卷；

(2)、将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，表示喜欢钉钉直播方式的扇形圆心角的度数为 .

(3)、某班被抽的部分问卷中，学生有5人，3名男生，2名女生，现打算从这5名学生中任意抽取2名学生进行电话采访，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到男女生各一名的概率.

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18. 关于x的一元二次方程x²+mx+m-2＝0.

(1)、若-2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；

(2)、求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

(3)、设该方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ，若x₁²+x₂²+m（x₁+x₂）＝m²+1，求m的值.

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19. 如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高，点O是AC中点，延长DO到E，使AE∥BC，连接AE.

(1)、求证：四边形ADCE是矩形；

(2)、①若AB＝17，BC＝16，则四边形ADCE的面积＝.

②若AB＝10，则BC＝时，四边形ADCE是正方形.

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20. 对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝ ${\begin{array}{l} a^{2} - a b (a ⩾ b) \\ a b - b^{2} (a < b) \end{array}$ ，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝4²﹣4×2＝8.

(1)、求（﹣7）*（﹣2）的值；

(2)、若x₁ ， x₂是一元次方程x²﹣5x﹣6＝0的两个根，求x₁*x₂的值.

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21. 西瓜经营户以2元/千克的价格购入一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可以售出200千克，为了促销减少库存，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，该经销户想每天盈利224元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元？

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22. 某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）.已知小明的跟晴离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米.请根据以上数据求出城楼的高度.

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23. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， A B = 4 ， B C = 2$ ，点 $D ， E$ 分别是边 $B C ， A C$ 的中点，连接 $D E$ .将 $△ C D E$ 绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为 $α$ .

(1)、问题发现
①当 $α = 0 °$ 时， $\frac{A E}{B D}$ ＝；
②当 $α = 180 °$ 时， $\frac{A E}{B D}$ ＝；

(2)、拓展探究
试判断当 $0 ° < α < 360 °$ 时， $\frac{A E}{B D}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

(3)、问题解决
当 $△ C D E$ 绕点C逆时针旋转至 $A ， B ， E$ 三点在同一条直线上时，求线段 $B D$ 的长.

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