（人教版）2022-2023学年度第一学期八年级数学乘法公式期末复习

试卷更新日期：2022-12-17 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 下列能用平方差公式计算的是（）

A、 $(- x + y) (x + y)$ B、 $(- x + y) (x - y)$ C、 $(x + 2) (2 + x)$ D、 $（ 2 x + 3) (3 x - 2)$

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2. 已知 $a = \sqrt{2023 \times 2021}$ ， $b = \sqrt{202 0^{2} + 4 \times 2021}$ ， $c = 2021 \times 2020 - 2019 \times 2021$ ，则 $(a - b) (b - c)$ 的值（）

A、大于零 B、小于零 C、等于零 D、无法确定

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3. 下列各式的变形中，正确的是（）

A、x÷(x²+x)= $\frac{1}{x}$ +1 B、（-x-y）（-x+y）=x²-y² C、x²-4x+3=(x-2)²+1 D、 $\frac{1}{x}$ -x= $\frac{1 - x}{x}$

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4. 如图，在边长为 $a$ 的正方形中挖掉一个边长为 $b$ 的小正方形 $(a > b)$ ，把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）

A、 $a^{2} - a b = a (a - b)$ B、 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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5. 若三角形的底边长为2a+1，该底边上的高为2a﹣1，则此三角形的面积为（）

A、2a²﹣ $\frac{1}{2}$ B、4a²﹣4a+1 C、4a²+4a+1 D、4a²﹣1

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6. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + 4 x + 2 = 0$ 的两实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $({x_{1}}^{2} + 2) ({x_{2}}^{2} + 2)$ 的值是（）

A、8 B、32 C、8或32 D、16或40

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7. 下列添括号正确的是（）

A、﹣b﹣c＝﹣（b﹣c） B、﹣2x+6y＝﹣2（x﹣6y） C、a﹣b＝+（a﹣b） D、x﹣y﹣1＝x﹣（y﹣1）

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8. 把算式 $3 - \frac{27}{7} + \frac{9}{13} - \frac{5}{2}$ 中的后三个数放入前面带有“-”的括号内正确的是（）

A、 $3 - (- \frac{27}{7} + \frac{9}{13} - \frac{5}{2})$ B、 $3 - (+ \frac{27}{7} + \frac{9}{13} - \frac{5}{2})$ C、 $3 - (+ \frac{27}{7} - \frac{9}{13} - \frac{5}{2})$ D、 $3 - (+ \frac{27}{7} - \frac{9}{13} + \frac{5}{2})$

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9. 如图，在正方形ABCD中，P是线段AC上任意一点，过点P分别作EF∥AD，MN∥AB.设正方形AEPM和正方形CFPN的面积之和为S₁ ，其余部分（即图中两阴影部分）的面积之和为S₂ ，则S₁与S₂的大小关系是（）

A、S₁＞S₂ B、S₁≥S₂ C、S₁＜S₂ D、S₁≤S₂

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10. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两根，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 的值为 $($ $)$

A、5 B、10 C、11 D、13

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二、填空题

11. 计算 $(2 a - b)$ （） $= 4 a^{2} - b^{2}$

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12. 已知点 $P$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点，且 $A P > P B$ ，若 $A B = \sqrt{5} + 1$ ．则 $A P =$ ．

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13. 已知正方形的面积是 $(16 - 8 x + x^{2}) c m^{2} (x > 4)$ ，则正方形的周长是cm．

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14. 已知 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值是．

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15. ﹣x²﹣2x+3＝﹣（）+3．

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三、解答题

16. 已知 $m^{2} - 2 m n - 1 = 0$ ，求代数式 ${(m - n)}^{2} + (m + n) (m - n) - m^{2}$ 的值．

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17. 已知 $x = \sqrt{5} - 2$ ， $y = \sqrt{5} + 2$ ，求代数式 $x^{2} - y^{2}$ 的值．

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18. 阅读：已知a - b＝ -4，ab＝3，求a²+b²的值．小明的解法如下：
解：因为a - b＝ -4，ab＝3，
所以a² +b²＝（a - b）²+ 2ab＝（- 4）²+ 2×3＝22．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
已知a - b＝ -5，ab＝2，求a²+ b²- ab的值．

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四、综合题

19. 实践与探索：如图1，边长为a的大正方形里有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.

(1)、上述操作能验证的等式是：___________（请选择正确的一个）

A、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ B、 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ C、 $a^{2} + a b = a (a + b)$

(2)、请应用这个等式完成下列各题：
①已知 $4 a^{2} - b^{2} = 24$ ， $2 a + b = 6$ ，则 $2 a - b =$ .

②计算： $9 (10 + 1) (10^{2} + 1) (10^{4} + 1) (10^{8} + 1) (10^{16} + 1)$ .

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20. 阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$
方法二： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$

(1)、请用两种不同的方法化简： $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{6}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2020}}$ ．

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21. 已知： $a = \sqrt{7} + 2$ ， $b = \sqrt{7} - 2$ ，求：

(1)、 $a b$ 的值；

(2)、 $a^{2} + b^{2} - a b$ 的值．

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22. 已知 $a + \frac{1}{a} = 3$ ，求：

(1)、 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ ；

(2)、 $a - \frac{1}{a}$ ．

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23. 如图，图①是长为 $2 a$ ，宽为 $2 b (a ＞ b)$ 的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图②所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图②中小正方形（阴影部分）面积为S．

(1)、用两种不同方法求S；（用含a、b的式子表示）

(2)、请直接写出 ${(a + b)}^{2}$ 、 ${(a - b)}^{2}$ 、 $a b$ 这三个代数式之间的数量关系；

(3)、利用（2）中结论，完成下列计算：
①已知 $x + y = - 19$ ， $x y = 70$ ，求 ${(x - y)}^{2}$ 的值；
②若 ${(x - y)}^{2} = 5$ ， ${(x + y)}^{2} = 9$ ，求 $x y$ 的值．

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二、填空题

三、解答题

四、综合题

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