2012年高考理数真题试卷（上海卷）

试卷更新日期：2016-09-26 类型：高考真卷

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一、填空题

1. 计算： $\frac{3 - i}{1 + i}$ =（i为虚数单位）．

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2. 若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B= ．

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3. 函数f（x）= $| \begin{matrix} 2 & \cos x \\ \sin x & - 1 \end{matrix} |$ 的值域是．

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4. 若 $\vec{n}$ =（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）．

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5. 在 ${(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的二项展开式中，常数项等于．

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6. 有一列正方体，棱长组成以1为首项、 $\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列，体积分别记为V₁ ， V₂ ， …，V_n ， …，则 $\lim_{n \to \infty}$ （V₁+V₂+…+V_n）═ ．

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7. 已知函数f（x）=e^|x^﹣^a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．

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8. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．

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9. 已知y=f（x）+x²是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= ．

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10. 如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a= $\frac{π}{6}$ ，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）= ．

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11. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．

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12. 在平行四边形ABCD中，∠A= $\frac{π}{3}$ ，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足 $\frac{\vec{| B M |}}{\vec{| B C |}}$ = $\frac{\vec{| C N |}}{\vec{| C D |}}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的取值范围是．

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13. 已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（ $\frac{1}{2}$ ，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．

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14. 如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．

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二、选择题

15. 若1+ $\sqrt{2}$ i是关于x的实系数方程x²+bx+c=0的一个复数根，则（）

A、b=2，c=3 B、b=﹣2，c=3 C、b=﹣2，c=﹣1 D、b=2，c=﹣1

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16. 在△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，则△ABC的形状是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定

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17. 设10≤x₁＜x₂＜x₃＜x₄≤10⁴ ， x₅=10⁵ ，随机变量ξ₁取值x₁、x₂、x₃、x₄、x₅的概率均为0.2，随机变量ξ₂取值 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 、 $\frac{x_{2} + x_{3}}{2}$ 、 $\frac{x_{3} + x_{4}}{2}$ 、 $\frac{x_{4} + x_{5}}{2}$ 、 $\frac{x_{5} + x_{1}}{2}$ 的概率也均为0.2，若记Dξ₁、Dξ₂分别为ξ₁、ξ₂的方差，则（）

A、Dξ₁＞Dξ₂ B、Dξ₁=Dξ₂ C、Dξ₁＜Dξ₂ D、Dξ₁与Dξ₂的大小关系与x₁、x₂、x₃、x₄的取值有关

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18. 设a_n= $\frac{1}{n}$ sin $\frac{n π}{25}$ ，S_n=a₁+a₂+…+a_n ，在S₁ ， S₂ ， …S₁₀₀中，正数的个数是（）

A、25 B、50 C、75 D、100

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三、解答题

19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2 $\sqrt{2}$ ，PA=2，求：

(1)、三角形PCD的面积；

(2)、异面直线BC与AE所成的角的大小．

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20. 已知f（x）=lg（x+1）

(1)、若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；

(2)、若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．

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21. 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：
①失事船的移动路径可视为抛物线 $y = \frac{12}{49} x^{2}$ ；
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t

(1)、当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．

(2)、问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²﹣y²=1．

(1)、过C₁的左顶点引C₁的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；

(2)、设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点，若l与圆x²+y²=1相切，求证：OP⊥OQ；

(3)、设椭圆C₂：4x²+y²=1，若M、N分别是C₁、C₂上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

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23. 对于数集X={﹣1，x₁ ， x₂ ， …，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n ， n≥2，定义向量集Y={ $\vec{a} | \vec{a}$ =（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意 $\vec{a_{1}} \in Y$ ，存在 $\vec{a_{2}} \in Y$ ，使得 $\vec{a_{1}} \cdot \vec{a_{2}} = 0$ ，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．

(1)、若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；

(2)、若X具有性质P，求证：1∈X，且当x_n＞1时，x₁=1；

(3)、若X具有性质P，且x₁=1、x₂=q（q为常数），求有穷数列x₁ ， x₂ ， …，x_n的通项公式．

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