重庆市渝东六校共同体2022-2023学年高一上学期数学联合诊断试卷

试卷更新日期：2022-12-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1} ， B = {- 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \leq 0 \\ 2 x + 1 ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (2) =$ （）

A、4 B、5 C、3 D、2

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3. “ $x > 2$ ”是“ $x > 1$ ”的 $($ 　　 $)$

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知命题 $p ： \forall x > 0 ， 2 x + 1 \geq 2$ ，则它的否定为（）

A、 $\forall x > 0 ， 2 x + 1 \geq 2$ B、 $\forall x \leq 0 ， 2 x + 1 < 2$ C、 $\exists x \leq 0 ， 2 x + 1 \geq 2$ D、 $\exists x > 0 ， 2 x + 1 < 2$

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5. 下列函数中，在定义域内是奇函数的是（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = | x |$

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 1 ， x \in [- 1 ， 3]$ ，则函数的值域为（）

A、 $[- 2 ， 6]$ B、 $[- 3 ， 6]$ C、 $[- 3 ， - 2)$ D、 $(- 2 ， 3]$

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7. 关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} + m x - \frac{1}{4} < 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）.

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $[- 1 ， 0)$ C、 $(- 1 ， 0]$ D、 $(- 1 ， 0)$

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8. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 单调递减，且 $f (2 - x) + f (x) = 0$ ，则使得不等式 $f (x^{2} - x) + f (2 x) < 0$ 成立的实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列关系式正确的有（）

A、 ${a ， b} = {b ， a}$ B、 ${0} = \emptyset$ C、 $0 \in {0}$ D、 $\emptyset \subseteq {0}$

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10. 下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = 1$ 与 $g (x) = x^{0}$ B、 $f (x) = | x |$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $f (x) = x - 1$ 与 $g (x) = \frac{x^{2}}{x} - 1$ D、 $f (x) = x^{2} - 3 x$ 与 $g (m) = m^{2} - 3 m$

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11. 若关于 $x$ 的二次不等式 $a x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集为 $(- 1 ， \frac{1}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $a + b = - 5$ C、 $a x^{2} + x - b > 0$ 的解集是 $(- \frac{2}{3} ， 1)$ D、 $a x^{2} + x - b > 0$ 的解集是 $(- \infty ， - \frac{2}{3}) \cup (1 ， + \infty)$

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12. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $3 x + 2 y = 4$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x y$ 的最大值为 $\frac{2}{3}$ B、 $\sqrt{3 x} + \sqrt{2 y}$ 的最大值为8 C、 $\frac{3}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为 $\frac{25}{4}$ D、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{16}{13}$

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三、填空题

13. 已知 $f (x)$ 是偶函数， $f (1) = 2$ ，则 $f (- 1) + f (1) =$ .

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14. 函数 $y = \sqrt{x - 1} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为.

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15. 函数 $f (x) = \sqrt{x - 1} - x$ 的值域为.

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16. 设函数的定义域为 $D$ ，如果存在正实数 $k$ ，使对任意的 $x \in D$ ，都有 $x + k \in D$ ，且 $f (x + k) > f (x)$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 为 $D$ 上的“ $k$ 型增函数”.已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = | x - a | - 2 a$ ，若 $f (x)$ 为 $R$ 上的“2022型增函数”，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {- 2 ， 1 ， 3} ， B = {2 ， 3 ， 5} ， U = {- 2 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$

(1)、求 $A \cup B$ ；

(2)、求 $∁_{U} (A \cap B)$ .

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18. 已知集合 $A = {x ∣ a < x < 2 a + 3}$ ，集合 $B = {x ∣ x^{2} - 8 x + 7 < 0}$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A ⊆ B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x - 7 ， x > 2 \\ - x^{2} + x + 4 ， x \leq 2 \end{array}$

(1)、求 $f (- 3)$ 及 $f [f (3)]$ 的值；

(2)、若 $f (x) \geq - 2$ ，求 $x$ 的取值范围.

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20. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = - x^{2} - 4 x - 3$

(1)、求 $f (0) ， f (3)$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的解析式，并画出函数图象，根据函数图象写出单调区间（无需证明）.

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21. 为了迎接中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某商场决定将一批进价为40元/件的商品降价出售，在市场试销中发现，此商品的销售单价 $x$ （单位：元）与日销售量 $y$ （单位：件）之间有如下表所示的关系.
$x$
$⋯$
40
50
55
60
$⋯$
$y$
$⋯$
60
30
15
0
$⋯$

(1)、根据表中提供的数据描出实数对 $(x ， y)$ 的对应点，确定 $y$ 与 $x$ 的一个函数关式 $y = f (x)$

(2)、设经营此商品的日销售利润为 $L (x)$ （单位：元），根据上述关系，写出 $L (x)$ 关于 $x$ 的函数解析式，并求日销售利润的最大值.

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22. 已知二次函数 $f (x)$ 的最小值为 $- 2$ ，且 $f (0) = f (2) = 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[a - 1 ， 2 a]$ 上不单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、在区间 $[- 1 ， 1]$ 上， $y = f (x)$ 的图象恒在 $y = 2 x + m^{2} + 6 m + 1$ 的图象上方，试确定实数 $m$ 的取值范围.

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$x$	$⋯$	40	50	55	60	$⋯$
$y$	$⋯$	60	30	15	0	$⋯$