重庆市渝东六校共同体2022-2023学年高二上学期数学联合诊断试卷

试卷更新日期：2022-12-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 直线 $x + \sqrt{3} y - 5 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 1 ， 0) ， \vec{b} = (1 ， 0 ， m)$ ，且 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 互相平行，则 $k =$ （）

A、 $- \frac{11}{4}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点是 $F_{1} ， F_{2} ， | F_{1} F_{2} | = \sqrt{3}$ ，椭圆上任意一点 $M$ 与两焦点距离的和等于8，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. 已知点 $P (- 3 ， - 1)$ ，向量 $\vec{m} = (\sqrt{5} ， - 1)$ ，过点 $P$ 作以向量 $\vec{m}$ 为方向向量的直线 $L$ ，则点 $A (3 ， - 1)$ 到直线 $L$ 的距离为（）

A、0 B、 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{1}{\sqrt{6}}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 求过两圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ 和 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 2 = 0$ 的交点，且圆心在直线 $x + 2 y + 2 = 0$ 上的圆的方程（）

A、 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y + 6 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y + 6 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y - 6 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 6 = 0$

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7. 椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0 ， n > 0)$ ， $F$ 为椭圆的一个焦点，长轴长是短轴的 $\sqrt{2}$ 倍，椭圆上存在一点P与 $F$ 关于直线 $y = x + 6$ 对称，则椭圆的方程为（）

A、 $\frac{2 x^{2}}{81} + \frac{4 y^{2}}{81} = 1$ B、 $\frac{4 x^{2}}{81} + \frac{2 y^{2}}{81} = 1$ C、 $\frac{2 x^{2}}{81} + \frac{4 y^{2}}{81} = 1$ 或 $\frac{4 x^{2}}{81} + \frac{2 y^{2}}{81} = 1$ D、 $\frac{81 x^{2}}{2} + \frac{81 y^{2}}{4} = 1$ 或 $\frac{81 x^{2}}{4} + \frac{81 y^{2}}{2} = 1$

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 3$ ，点T在直线 $x = 1$ 上运动，若圆C上存在以 $M$ 为中点的弦 $A B$ ，且 $A B = 2 M T$ ，则点T的纵坐标的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{2} ， 0]$ B、 $(0 ， \sqrt{2}]$ C、 $[- \sqrt{2} ， \sqrt{2}]$ D、 $(- \sqrt{2} ， \sqrt{2})$

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二、多选题

9. 对于直线 $l_{2} ： 3 x + (a - 1) y + 3 - a = 0$ 和直线 $l_{1} ： a x + 2 y + 3 a = 0$ ，以下说法正确的有（）

A、直线 $l_{2}$ 一定过定点 $(- \frac{2}{3} ， 1)$ B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{2}{5}$ C、 $l_{1} / / l_{2}$ 的充要条件是 $a = 3$ D、点 $P (1 ， 3)$ 到直线 $l_{1}$ 的距离的最大值为5

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10. 已知曲线 $C ：$ $\frac{x^{2}}{2 + m} + \frac{y^{2}}{m - 4} = 1$ ，则（）

A、当 $m = 3$ 时，则 $C$ 的焦点是 $F_{1} (2 ， 0) ， F_{2} (- 2 ， 0)$ B、当 $m = 2$ 时，则 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、当 $C$ 表示双曲线时，则 $m$ 的取值范围为(-2，4) D、存在实数 $m$ ，使 $C$ 表示圆

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11. 已知圆C： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ ，直线 $l$ ： $y - 1 = k (x - 3)$ ．下列命题正确的有（）

A、直线 $l$ 与圆C可能相切 B、 $x$ 轴被圆C截得的弦长为 $2 \sqrt{5}$ C、直线 $l$ 被圆C截得的最短弦长为4 D、若直线 $l$ 与圆相交于A，B两点， $△ A C B$ 面积的最大值为 $\frac{9}{2}$

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ，点P满足 $\vec{C P} = λ \vec{C D} + μ {\vec{C C}}_{1}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1] ， μ \in [0 ， 1]$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $B_{1} P / /$ 平面 $A_{1} B D$ 时， $B_{1} P$ 不可能垂直 $C D_{1}$ B、若 $B_{1} P$ 与平面 $C C_{1} D_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则点P的轨迹长度为 $\frac{π}{2}$ C、当 $λ = 1$ 时，正方体经过点 $A_{1}$ ､P､C的截面面积的取值范围为[ $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ， $\sqrt{2}$ ] D、当 $λ = μ$ 时， $| \vec{D P} | + | \vec{A_{1} P} |$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$

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三、填空题

13. 已知直线l的倾斜角是直线 $x - 2 y + 3 = 0$ 的倾斜角的2倍，且l经过点 $(3 ， 2)$ ，则直线l的一般方程为．

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14. 以椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的右焦点F为圆心，并过椭圆的短轴端点的圆的方程为.

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15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A C ∩ B D = O$ ，底面 $A B C D$ 为菱形，边长为4， $∠ A B C = 60 °$ ， $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ，异面直线 $B P$ 与 $C D$ 所成的角为60°，若 $E$ 为线段 $O C$ 的中点，则点 $E$ 到直线 $B P$ 的距离为 .

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中有两定点A、B，且 $A B = 4$ ，动点P满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = λ (λ ＞ 0)$ ，若点P总不在以点B为圆心， $1$ 为半径的圆内，则实数 $λ$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，已知点 $A (8 ， 4)$ ， $B (4 ， - 1)$ ， $C (- 6 ， 3)$ ．

(1)、求BC边上中线的方程．

(2)、若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．

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18. 如图，三棱柱 $A B C - A B_{1} C_{1}$ 中侧棱与底面垂直，且 $A B = A C = 2 ， A A_{1} = 4$ ， AB⊥AC，M，N，P分别为 $C C_{1}$ ， BC， $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证：PN∥面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求平面PMN与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成锐二面角的余弦值．

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19. 已知 $△ A B C$ 的两个顶点 $A ， B$ 分别为椭圆 $x^{2} + 4 y^{2} = 4$ 的左焦点和右焦点，且三个内角 $A ， B ， C$ 满足关系式 $s i n B - s i n A = \frac{1}{2} s i n C$ .

(1)、求线段 $A B$ 的长度；

(2)、求顶点 $C$ 的轨迹方程.

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20. 已知平面内动点 $P$ 与点 $Q (- 2 ， 0)$ ， $A (2 ， 0)$ 的斜率之积为 $- 1$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程.

(2)、已知点 $P$ 为第三象限内一点且在轨迹 $C$ 上， $B (0 ， 2)$ ，直线 $P A$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $P B$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ，求证：四边形 $A B N M$ 的面积为定值.

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $P A = P B = A B = 2$ ，点 $N$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、若平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，在线段PD上是否存在点M，使得二面角 $M - N C - P$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，如果存在，求直线 $P C$ 与平面 $M N C$ 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且离心率为 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、当椭圆 $C$ 和圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ .过点 $A (m ， 0) (m > 1)$ 作直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，且两直线的斜率之积等于 $1$ ， $l_{1}$ 与圆 $O$ 相切于点 $P$ ， $l_{2}$ 与椭圆相交于不同的两点 $M$ ， $N$ ．
（i）求 $m$ 的取值范围；
（ii）求 $△ O M N$ 面积的最大值．

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