重庆市2023届高三上学期数学第四次质量检测试卷

试卷更新日期：2022-12-16 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 的模 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

查看试题解析
2. 已知集合 $A = {- 1 ， 0} ， B = {1 ， 2}$ ，则集合 $C = {z | z = x^{2} + y^{2} ， x \in A ， y \in B}$ 的真子集个数为（）

A、7 B、8 C、15 D、16

查看试题解析
3. 已知直线 $l_{1} ： (m - 2) x - 3 y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： m x + (m + 2) y + 1 = 0$ 相互平行，则实数m的值是（）

A、 $- 4$ B、1 C、 $- 1$ D、6

查看试题解析
4. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 $π$ 的范围是： $3.1415926 < π < 3.1415927$ ，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（）个．

A、240 B、360 C、600 D、720

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = l n (\sqrt{x^{2} + 1} - x) + 1$ ，正实数a，b满足 $f (2 a) + f (b - 4) = 2$ ，则 $\frac{4 b}{a} + \frac{a}{2 a b + b^{2}}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、 $\frac{65}{8}$

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq 0 \\ | x - \frac{1}{x} | ， x > 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f^{2} (x) + (m - 4) f (x) + 2 (2 - m) = 0$ 有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）

A、 $[1 ， 3)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $(0 ， 1)$

查看试题解析
7. 已知点P为抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一动点，点Q为圆 $C ： (x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ 上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若 $P Q + d$ 的最小值为2，则 $p =$ （）

A、 $p = \frac{1}{2}$ B、 $p = 1$ C、 $p = 2$ D、 $p = 4$

查看试题解析
8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 5$ ，且 $(2 n - 7) a_{n + 1} = (2 n - 5) a_{n} + (2 n - 5) (2 n - 7)$ ，若不等式 $P \leq \frac{2 n^{2}}{a_{n}} \leq Q$ 对于任意正整数 $n \in N^{*}$ 成立，则 $Q - P$ 的最小值为（）

A、10 B、12 C、14 D、16

查看试题解析

二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9 B、已知随机变量 $ξ$ 服从二项分布： $ξ ~ B (8 ， \frac{3}{4})$ ，设 $η = 2 ξ + 1$ ，则 $η$ 的方差 $D (η) = 9$ C、用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个休，则每个个体被抽到的概率都是 $\frac{1}{51}$ D、若样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 的平均数为2，则 $3 x_{1} + 2 ， 3 x_{2} + 2 ， ⋯ ， 3 x_{n} + 2$ 的平均数为8

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) ， ω \in (0 ， 2)$ ，将函数 $f (x)$ 图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的一半得到函数 $g (x)$ ，且不等式 $g (x) \leq g (\frac{π}{4})$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 1$ B、 $\frac{3}{4} π$ 为 $g (x)$ 的一个零点 C、 $g (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递增 D、方程 $g (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 在 $x \in (0 ， 10 π)$ 上共有30个解

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{2}{3} a x^{3}$ 有三个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > \frac{e^{2}}{8}$ B、 $x_{1} < - 1$ C、 $x_{2}$ 为函数 $f (x)$ 的极大值点 D、 $f (x_{3}) < \frac{e^{2}}{3}$

查看试题解析
12. 如图，过双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D， $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、 $| A B |_{m i n} = 2 \sqrt{b^{2} + 1}$ B、 $S_{△ O A P} = S_{△ O B P}$ C、 $S_{△ A O B} = b$ D、若存在点P，使 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{4}$ ，且 $\vec{F_{1} D} = 2 \vec{D F_{2}}$ ，则双曲线C的离心率 $e = 2$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，其中 $| \vec{a} |$ ＝ $\sqrt{2}$ ， $| \vec{b} |$ ＝2，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角是.

查看试题解析
14. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $4 a_{1} + 7 a_{3} = 2 a_{2} \cdot a_{4}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则 $S_{5} =$ ．

查看试题解析
15. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} ： (x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 10$ 相交于A，B两点，则 $| A B | =$ ．

查看试题解析
16. 已知 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c} ， \vec{d}$ 是单位向量，满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b} ， \vec{m} = \vec{a} + 2 \vec{b} ， | \vec{m} - \vec{c} |^{2} + | \vec{m} - \vec{d} |^{2} = 20$ ，则 $| \vec{c} - \vec{d} |$ 的最大值为．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0$ ，且满足 $2 S_{1} - S_{3} = 3 ， a_{5} ， a_{4} ， a_{7}$ 成等比数列．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${| a_{n} |}$ 的前30项和．

查看试题解析
18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D ， A D / / B C ， A D = 2 B C = 2 ， A B = \sqrt{3}$ ， E为 $C D$ 中点．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A E$ ；

(2)、若 $P A = \sqrt{3}$ ，求二面角 $A - P B - E$ 的余弦值．

查看试题解析
19. 在锐角 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边，外接圆周长为 $2 \sqrt{3} π$ ，且 $2 (b - c c o s A) = a$ ．

(1)、求c；

(2)、记 $△ A B C$ 的面积为S，求S的取值范围．

查看试题解析
20. 《橙子辅导》是一款实景逃脱类游戏，密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为： $\frac{2}{3} ， \frac{1}{2} ， \frac{1}{3}$ ．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．

(1)、若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率．

(2)、若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x - 2 a) + a x + 2 ， a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 对 $\forall x \geq 0$ 恒成立，求实数a的范围；

(3)、证明：当 $n \in N^{*} ， 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} < l n (2 n + 1)$ ．

查看试题解析
22. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点， $| O A | = 2 | O B |$ ．

(1)、若 $△ B F_{1} F_{2}$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、如图，过点 $P (1 ， 0)$ 作斜率 $k (k > 0)$ 的直线l交椭圆 $C_{1}$ 于不同两点M，N，点M关于x轴对称的点为S，直线 $S N$ 交x轴于点T，点P在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q，使 $\vec{O M} + \vec{O N} = \vec{O Q}$ ，记四边形 $O M Q N$ 的面积为 $S_{1}$ ，求 $\frac{\vec{O T} \cdot \vec{O Q} - S_{1}^{2}}{k}$ 的最大值．

查看试题解析