江西省上饶市广丰区重点高中2022-2023学年高二上学期数学第三次月考试卷

试卷更新日期：2022-12-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若点 $P (1 ， 1)$ 在圆 $C ： x^{2} + y^{2} + x - y + k = 0$ 的外部，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， + \infty)$ B、 $[- 2 ， - \frac{1}{2})$ C、 $(- 2 ， \frac{1}{2})$ D、 $(- 2 ， 2)$

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2. 现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（）

A、20 B、90 C、120 D、240

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3. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 是底面 $A B C D$ 的中心， $E ， F$ 分别是 $B B_{1} ， D D_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $A_{1} O$ // $E F$ B、 $A_{1} O ⊥ E F$ C、 $A_{1} O$ //平面 $E F B_{1}$ D、 $A_{1} O ⊥$ 平面 $E F B_{1}$

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4. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点，则直线 $P B$ 与 $A D_{1}$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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5. 设 $B$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $| P B | \leq 2 b$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ B、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}]$

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6. 已知两点 $A (2 ， - 3)$ ， $B (- 3 ， 2)$ ，直线 $l$ 过点 $P (1 ， 1)$ 且与线段 $A B$ 相交，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是（）

A、 $- 4 \leq k \leq - \frac{1}{4}$ B、 $k \leq - 4$ 或 $k \geq - \frac{1}{4}$ C、 $- 4 \leq k \leq \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4} \leq k \leq 4$

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7. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（）

A、当点P不在x轴上时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长是6 B、当点P不在x轴上时， $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ C、存在点P，使 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ D、 $| P F_{1} |$ 的取值范围是 $[1 ， 3]$

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8. 如图已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，M ， N分别是 $A_{1} D$ ， $D_{1} B$ 的中点，则（）

A、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 垂直，直线 $M N / /$ 平面 $A B C D$ B、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 平行，直线 $M N ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ C、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 相交，直线 $M N / /$ 平面 $A B C D$ D、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 异面，直线 $M N ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$

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二、多选题

9. 若直线 $x = a$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 仅有一个交点，则a的值可以是（）

A、4 B、2 C、1 D、 $- 2$

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10. 用0到9这10个数字.可组成（）个没有重复数字的四位偶数？

A、 $A_{9}^{3} + A_{4}^{1} \cdot A_{8}^{1} \cdot A_{8}^{2}$ B、 $A_{9}^{3} + A_{4}^{1} \cdot (A_{9}^{3} - A_{8}^{2})$ ） C、 $A_{5}^{1} \cdot A_{5}^{1} \cdot A_{8}^{2} + A_{4}^{1} \cdot A_{4}^{1} \cdot A_{8}^{2}$ D、 $A_{10}^{4} - 2 A_{9}^{3} - A_{5}^{1} (A_{9}^{3} - A_{8}^{2})$

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11. （多选）已知直线 $l ： x - m y + m - 1 = 0$ ，则下列说法正确的是（）．

A、直线 $l$ 的斜率可以等于0 B、若直线 $l$ 与 $y$ 轴的夹角为30°，则 $m = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $m = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、直线 $l$ 恒过点 $(2 ， 1)$ D、若直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，则 $m = 1$ 或 $m = - 1$

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12. 某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的有（）

A、分给甲､乙､丙三地每地各2辆，有120种分配方式 B、分给甲､乙两地每地各2辆，分给丙､丁两地每地各1辆，有180种分配方式 C、分给甲､乙､丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式 D、分给甲､乙､丙､丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1080种分配方式

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三、填空题

13. 已知椭圆的焦距是8，椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16，则椭圆的标准方程是．

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14. 已知直线 $x - \sqrt{3} y + 8 = 0$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相交于 $A, B$ 两点．若 $| A B | = 6$ ，则 $r$ 的值为．

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15. 已知圆 $C_{1} ： (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} ： (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 2$ 交于 $A ， B$ 两点，直线 $l$ 与直线 $A B$ 平行，且与圆 $C_{2}$ 相切，与圆 $C_{1}$ 交于点 $M ， N$ ，则 $| M N | =$ ．

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A C ∩ B D = O$ ，底面 $A B C D$ 为菱形，边长为2， $∠ A B C = 60 °$ ， $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ，异面直线 $B P$ 与 $C D$ 所成的角为60°，若 $E$ 为线段 $O C$ 的中点，则点 $E$ 到直线 $B P$ 的距离为．

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四、解答题

17. 已知 $\frac{x^{2}}{1 - k} - \frac{y^{2}}{| k | - 3} = -$ 1，当k为何值时：

(1)、方程表示双曲线；

(2)、表示焦点在x轴上的双曲线；

(3)、表示焦点在y轴上的双曲线．

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18. 如图，在以 $P$ 为顶点，母线长为 $\sqrt{2}$ 的圆锥中，底面圆 $O$ 的直径 $A B$ 长为2， $C$ 是圆 $O$ 所在平面内一点，且 $A C$ 是圆 $O$ 的切线，连接 $B C$ 交圆 $O$ 于点 $D$ ，连接 $P D$ ， $P C$ .

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $E$ 是 $P C$ 的中点，连接 $O E$ ， $E D$ ，当二面角 $B - P O - D$ 的大小为 $12 0^{∘}$ 时，求平面 $P A C$ 与平面 $D O E$ 所成锐二面角的余弦值.

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19. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线与 $x$ 轴的交点为 $A (- 1 ， 0)$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $M (2 ， 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点.求证： $\frac{1}{| P M |^{2}} + \frac{1}{| Q M |^{2}}$ 为定值.

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20.

(1)、解不等式 $A_{8}^{x} < 6 A_{8}^{x - 2}$ ．

(2)、若 $C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{n}^{2} = 363$ ，求正整数n．

(3)、若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有多少种不同的方法（用数字作答）；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有多少种不同的方法（用数字作答）．

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21. 如图，在三棱锥 $D - A B C$ 中， $A D = C D = A E = C E = \frac{1}{2} B C$ ， $C D ⊥ A D$ ，记二面角 $D - A C - B$ 的平面角为 $θ$ ．

(1)、若 $θ = \frac{π}{3}$ ， $B C = 2$ ，求三棱锥 $D - A B C$ 的体积；

(2)、若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围．

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22. 如图，已知点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点，A，B是椭圆C上不同的两点，且 $\vec{F_{1} A} = λ \vec{F_{2} B} (λ > 0)$ ，连接 $A F_{2} ， B F_{1}$ ，且 $A F_{2} ， B F_{1}$ 交于点Q．

(1)、当 $λ = 2$ 时，求点B的横坐标；

(2)、若 $△ A B Q$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ，试求 $λ + \frac{1}{λ}$ 的值．

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