江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期数学教学质量调研（三）试卷

试卷更新日期：2022-12-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | y = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}}$ ， $N = {x | \sqrt{x} \leq 4}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0 ， 16]$ B、 $(- \infty ， 16]$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 16]$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， 16]$

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2. 若 $a$ ， $b$ 是正数，则“ $a c > b c$ ”是“ $a > b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{24} π$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{12} π$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6} π$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$

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4. 已知电影院有三部影片同时上映，一部动画片，一部喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少两人观看，则不同的观影方案共有（）种.

A、30 B、40 C、50 D、80

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5. 椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ ，上顶点A，直线 $A F_{1}$ 与椭圆的另一交点为M， $\vec{A F_{1}} = 2 \vec{F_{1} M}$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 意大利著名数学家斐波那在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中 $a_{1} = a_{2} = 1$ ，且从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ ，后来人们把这样的一列数组成的数列 ${a_{n}}$ 称为“斐波那契数列”，则斐波那契数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} a_{n + 2} + a_{n + 2} a_{n + 4} =$ （）

A、 $a_{n} a_{n + 5}$ B、 $a_{n + 3}^{2}$ C、 $a_{n + 2} a_{n + 3}$ D、 $3 a_{n + 2}^{2}$

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7. 已知 $f (x) = s i n (\frac{3}{4} x + φ)$ ，满足 $f (\frac{π}{6}) = f (\frac{π}{2})$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{2 π}{3} ， θ)$ 上有且只有两个零点，则 $θ$ 的范围为（）

A、 $\frac{4 π}{3} < θ \leq 2 π$ B、 $2 π < θ \leq \frac{8 π}{3}$ C、 $\frac{7 π}{3} < θ < \frac{11 π}{3}$ D、 $\frac{7 π}{3} < θ \leq \frac{11 π}{3}$

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8. 已知 $a = t a n \frac{1}{3}$ ， $b = \frac{1}{3}$ ， $c = 2 l n 2 - l n 3$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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9. 设定点 $F (1 ， 0)$ ，动点M满足以MF为直径的圆与y轴相切，设动点M的轨迹为C，则下列说法正确的是（）

A、轨迹C的方程为 $y^{2} = 4 x$ B、动点M到直线 $l_{1}$ ： $4 x - 3 y + 6 = 0$ 和 $l_{2}$ ： $x = - 2$ 的距离之和的最小值为2 C、长度为8的线段两端点在轨迹C上滑动，中点到y轴距离的最小值为4 D、轨迹C上一点P处的切线与x轴交于 $Q$ ，若 $P Q = F Q$ ，则切线斜率为 $\sqrt{3}$

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二、多选题

10. 设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ 为复数，且 $z_{1} \neq 0$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ ，则 $z_{2} = z_{3}$ B、若 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} z_{3} |$ ，则 $z_{2} = \pm z_{3}$ C、若 $z_{2}^{3} = z_{3}^{3}$ ，则 $z_{2} = z_{3}$ D、若 $z_{1} z_{2} = {| z_{1} |}^{2}$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$

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11. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$ ，则说法下列正确的是（）

A、 $f (x) + f (2 - x) = 4$ B、函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 3]$ 上的最大值为4 C、函数 $f (x)$ 在 $[t ， t + 3]$ 上的最大值为4，则 $t \in [1 ， 2]$ D、若方程 $f^{'} (x) + a = 0$ 在 $(0 ， 3)$ 上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 $(- 3 ， 0)$

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $λ + μ = 1$ ，则 $A P ⊥ B D_{1}$ B、若 $λ = μ$ ， $Q$ 为线段 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，则四面体 $A D_{1} Q P$ 的体积为定值 C、若 $λ = \frac{1}{2}$ ， $μ = 1$ ， $R$ 为线段 $D D_{1}$ 的中点，则 $A R ∥ B P$ D、若 $λ^{2} + μ^{2} = 1$ ，则线段AP的长度为定值

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三、填空题

13. $\frac{1}{x^{3}} \cdot {(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中常数项为.

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14. 某学校为了调查学生在一天生活方面的支出情况，抽出了一个容量为 $n$ 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在 $[50 ， 60]$ 元的学生90人，则样本中支出不少于40元的人数有.

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15. 圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + m = 0$ 没有公共点，则 $m$ 的取值范围为.

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16. 如图为某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，它的表面是由正三角形和正方形组成，设被截正方体的棱长为2a，若球О以该几何体的中心为球心，且与正三角形表面相切，则该球被其中一个正方形表面截得的截面面积为.

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四、解答题

17. 在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c， $t a n B = \frac{2 c o s A + c o s C}{s i n C}$ .

(1)、求角B；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求b的最小值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = - 4$ ， $T_{n}$ 为其数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积，且 $n T_{n + 1} T_{n - 1} = - 2 (n + 1) T_{n}^{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，求满足不等式 $S_{n} \leq \frac{31}{48} b_{n}$ 的最小的正整数 $n$ .

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19. 如图所示，四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上下底面均为正方形，面 $A D D_{1} A_{1} ⊥$ 面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ ， $A A_{1} = D D_{1} = 4$ ， $A_{1} D_{1} = 3 A D = 6$ .

(1)、求 $B_{1}$ 到平面 $C D D_{1} C_{1}$ 的距离；

(2)、求二面角 $B_{1} - C C_{1} - D_{1}$ 的正弦值.

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20. 2022世界乒乓球团体锦标赛已于2022年9月30日至10月9日在成都举行.近年来，乒乓球运动早已成为我国民众喜爱的运动之一.某次友谊赛，甲、乙两位选手进行比赛，比赛采用5局3胜制，若结果是3：0或3：1，则胜者得3分，负者得0分﹔若结果是3：2，则胜者得2分，负者得1分.根据以往经验，甲乙在一局比赛获胜的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ，且每局比赛结果相互独立

(1)、设甲所得积分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、由于某种原因，比赛规则改为未满5局已领先2局者获胜﹔若打满5局，仍然没有领先2局者，比赛结束，领先者也获胜，求甲获胜的概率.

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21. 抛物线 $C_{1}$ ： $x^{2} = 4 y$ ，双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 且离心率 $e = \sqrt{5}$ ，过曲线 $C_{2}$ 下支上的一点 $M (\frac{3}{4} ， m)$ 作 $C_{1}$ 的切线，其斜率为 $- \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $C_{2}$ 的标准方程；

(2)、直线 $l$ 与 $C_{2}$ 交于不同的两点 $P$ ， $Q$ ，以PQ为直径的圆过点 $N (0 ， \frac{1}{2})$ ，过点N作直线 $l$ 的垂线，垂足为H，则平面内是否存在定点D，使得DH为定值，若存在，求出定值和定点D的坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} (x - 1) - x^{2} - 1$ ，（ $a \in R$ ， $e$ 为自然对数的底）

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性﹔

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围，并证明 $x_{1} + x_{2} < 0$ .

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