江苏省常州市十校2022-2023学年高一上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2022-12-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. $- \frac{19}{3} π$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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2. 已知集合 $A = {y | y = \sqrt{x + 1}}$ ，集合 $B = {x | x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $[0 ， 1)$

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3. “ $2^{x} > 4$ ”是“ $\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = \frac{| x^{2} - 1 |}{x}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 奇函数 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上为增函数，且 $f (- 2) = 0$ ，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(2 ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， - 2)$ D、 $(- ∞ ， - 2) \cup (2 ， + ∞)$

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6. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在 $(- \infty ， 0]$ 上是单调递增的.设 $a = f (l o g_{4} 5) ， b = f (l o g_{2} \frac{1}{3}) ， c = f (0 . 2^{0.5})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $c > a > b$ C、 $b < c < a$ D、 $c > b > a$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 2 ， x \leq 1 \\ x + \frac{9}{x} - 3 a ， x > 1 \end{array}$ 的最小值为 $f (1)$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 3]$ B、 $[3 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 3]$ D、 $(- \infty ， 1] \cup [3 ， + \infty)$

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8. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为 $1.2 m g / c m^{3}$ ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少 $20 %$ ，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过 $0.2 m g / c m^{3}$ ，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3 ， l g 3 \approx 0.477$ ）

A、6 B、7 C、8 D、9

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二、多选题

9. 下列不等式中正确的有（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a b > 0$ ，则 C、若 $a > | b |$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b > c$ ，则 $\frac{1}{b - c} > \frac{1}{a}$

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10. 下面命题正确的是（）

A、“ $x > 3$ ”是“ $x > 5$ ”的必要不充分条件 B、如果幂函数 $y = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m^{2} - m - 2}$ 的图象不过原点，则 $m = 1$ 或 $m = 2$ C、函数 $f (x) = a^{x - 4} + 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 恒过定点 $(4 ， 1)$ D、“ $a c < 0$ ”是“一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有一正一负两个实根”的充要条件

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11. 中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为 $S_{1}$ ，圆心角为 $α_{1}$ ，圆面中剩余部分的面积为 $S_{2}$ ，圆心角为 $α_{2}$ ，当 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ （黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（）

A、 $α_{1} = 127.5 °$ B、 $α_{1} = 137.5 °$ C、 $α_{2} = (\sqrt{5} - 1) π$ D、 $\frac{α_{1}}{α_{2}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，已知函数 $f (x) = \frac{2 e^{x}}{1 + e^{x}} - \frac{1}{2}$ ， $g (x) = [f (x)]$ ，则下列叙述正确的是（）

A、 $g (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数 C、 $f (x)$ 的值域是 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $g (x)$ 的值域是 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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三、填空题

13. 已知 $c o s α = \frac{1}{3}$ ， $α \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ，则 $t a n α$ 等于．

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14. 函数 $f (x) = | x - 2 | (x + 1)$ 的单调增区间是.

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15. 若b＞a＞1且3log_ab+6log_ba=11，则 $a^{3} + \frac{2}{b - 1}$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = a^{x^{2} - (a - 2) x + 1} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在区间 $(- \frac{3}{5} ， 2)$ 上单调递减，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17.

(1)、 ${(0.064)}^{- \frac{1}{3}} - {(- \frac{7}{8})}^{0} + {[{(- 2)}^{3}]}^{- \frac{4}{3}} + 1 6^{- 0.25}$

(2)、 $| {(\frac{4}{9})}^{- \frac{1}{2}} - l g 5 | + \sqrt{l g^{2} 2 - l g 4 + 1} - 3^{1 - l o g_{3} 2}$

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18. 已知 $\frac{3 c o s α - 2 s i n α}{s i n α + 2 c o s α} = - \frac{1}{4}$ ．

(1)、 $\frac{c o s (π + α) c o s (\frac{π}{2} + α) s i n (\frac{3 π}{2} - α)}{c o s (\frac{3 π}{2} - α) s i n (3 π - α) s i n (\frac{5 π}{2} + α)}$ 的值

(2)、求 $2 s i n^{2} (π - α) + c o s (\frac{π}{2} - α) \cdot s i n (\frac{π}{2} + α) + 1$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - 5 m + 1) x^{m + 1} (m \in Z)$ 为幂函数，且为奇函数.

(1)、求 $m$ 的值，并确定 $f (x)$ 的解析式；

(2)、令 $g (x) = f (x) - \sqrt{2 x + 1}$ ，求 $y = g (x)$ 在 $x \in (- \frac{1}{2} ， 4)$ 的值域.

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20. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 8 < 0}$ ， $B = {x | \frac{1}{2 - x} \leq 3}$ ， $C = {x | x^{2} - 3 a x + 2 a^{2} < 0}$ ．

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $C \subseteq (A \cap B)$ ，求实数a的取值范围．

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21. 已知函数 $g (x) = \frac{2^{x} + b}{2^{x} - b}$ ， $b$ 为非零常数．

(1)、当 $b < 0$ 时，试判断函数 $y = g (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(2)、当 $b = - 1$ 时，不等式 $g (x^{2} + 1) + g (3 - a x) > 0$ 对 $x \in R$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 给定区间 $I$ ，集合 $M$ 是满足下列性质的函数 $f (x)$ 的集合：任意 $x \in I$ ， $f (x + 1) > 2 f (x) .$

(1)、已知 $I = R$ ， $f (x) = 3^{x}$ ，求证： $f (x) \in M$ ；

(2)、已知 $I = (0 ， 1]$ ， $g (x) = l o g_{2} x + a .$ 若 $g (x) \in M$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、已知 $I = [- 1 ， 1]$ ， $h (x) = - x^{2} + a x + a - 5 (a \in R)$ ，讨论函数 $h (x)$ 与集合 $M$ 的关系．

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