江苏省百校大联考2022-2023学年高一上学期数学12月阶段测试试卷

试卷更新日期：2022-12-14 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $M = {x ∣ x^{2} < 4 x} ， N = {x | | x - 1 | \geq 3}$ ，则 $M \cup (∁_{R} N) =$ （）

A、 $M$ B、 $N$ C、 $∁_{R} N$ D、 $∁_{R} M$

查看试题解析
2. 使不等式 $(1 - x) (\frac{1}{x} + 1) > 0$ 成立的一个充分不必要条件可以为（）

A、 $x \in (1 ， + \infty)$ B、 $x \in (- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ C、 $x \in (- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $x \in (- ∞ ， - 2)$

查看试题解析
3. 函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (- 2 x^{2} + x + 3)$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{4})$ B、 $(- 1 ， \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{4} ， \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$

查看试题解析
4. 已知幂函数的图象经过点 $P (8 ， \frac{1}{4})$ ，则该幂函数的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. $17$ 世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知 $l g 2 \approx 0.3010 ， l g 3 \approx 0.4771$ ，设 $N = 4^{7} \times 9^{12}$ ，则 $N$ 所在的区间为（）

A、 $(1 0^{13} ， 1 0^{14})$ B、 $(1 0^{14} ， 1 0^{15})$ C、 $(1 0^{15} ， 1 0^{16})$ D、 $(1 0^{16} ， 1 0^{17})$

查看试题解析
6. 设 $a ， b$ 是满足 $a < 0 < b$ 的实数，那么（）

A、 $| a + b | ⩾ | a - b |$ B、 $| a + b | ⩽ b - a$ C、 $b - a < | | a | - | b | |$ D、 $| a - b | < | a | + | b |$

查看试题解析
7. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小､密度大､吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数､奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为 $a$ ，则 $s i n (\frac{2 a}{3} π + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

查看试题解析
8. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x ， x ⩽ 4 ， \\ | l o g_{2} (x - 4) | ， x > 4 ， \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 有四个实根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $(\sqrt{3} + x_{1}) (\sqrt{3} - x_{2}) + 2 x_{3} + \frac{1}{2} x_{4}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、8 C、 $\frac{9}{2}$ D、16

查看试题解析

二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）

A、不论 $a$ 取何实数，命题 $p ：$ “ $\exists x > 0 ， - x^{2} + 2 a x + 2 > 0$ ”为真命题 B、不论 $b$ 取何实数，命题 $p$ ：“二次函数 $y = x^{2} + b$ 的图象关于 $y$ 轴对称”为真命题 C、“四边形 $A B C D$ 的对角线垂直且相等”是“四边形 $A B C D$ 是正方形”的充分不必要条件 D、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的既不充分也不必要条件

查看试题解析
10. 一般地，对任意角 $α$ ，在平面直角坐标系中，设 $α$ 的终边上异于原点的任意一点 $P$ 的坐标为 $(x ， y)$ ，它与原点的距离是 $r$ .我们规定：比值 $\frac{x}{y} ， \frac{r}{y} ， \frac{r}{x}$ 分别叫作角 $α$ 的余切､余割､正割，分别记作 $c o t α ， c s c α ， s e c α$ ，把 $y = c o t x ， y = c s c x ， y = s e c x$ 分别叫作余切函数､余割函数､正割函数.下列叙述正确的有（）

A、 $c o t \frac{7 π}{4} = - 1$ B、 $s i n α \cdot s e c α = 1$ C、 $y = s e c α$ 的定义域为 ${x ∣ x \neq k π + \frac{π}{2} ， k \in Z}$ D、 $2 s e c^{2} α + s i n^{2} α + 2 c s c^{2} α + c o s^{2} α \geq 9$

查看试题解析
11. 下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = a^{x - 1} - 2 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $(1 ， - 2)$ B、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 2 x + c < 0$ 的解集为 ${x ∣ x < - 1$ 或 $x > 2}$ ，则 $a + c = 2$ C、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 16} + \frac{9}{\sqrt{x^{2} + 16}}$ 的最小值为6 D、若 $a c^{2} = b c^{2} + 1$ ，则 $a > b$

查看试题解析
12. 设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，也叫取整函数.令函数 $f (x) = x - [x]$ ，以下结论正确的有（）

A、 $f (- 2.3) = 0.7$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x + 1) = f (x)$ D、 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， 1]$

查看试题解析

三、填空题

13. 请写出能够说明“存在两个不相等的正数 $a ， b$ ，使得 $a - b = 2 a b$ ”是真命题的一组有序数对： $(a ， b)$ 为.（答案不唯一）

查看试题解析
14. 已知 $f (s i n x) = t a n 3 x ， (0^{°} < x < 9 0^{°})$ ，则 $f (c o s 20 °) =$ .

查看试题解析
15. 已知正实数 $x ， y ， z$ ，则 $\frac{x^{2} + 2 y^{2} + z^{2}}{x y + 3 y z}$ 的最小值为.

查看试题解析
16. 对于函数 $g (x)$ ，若 $g (x) = x$ ，则称 $x$ 为 $g (x)$ 的“不动点”，若 $g (g (x)) = x$ ，则称 $x$ 为 $g (x)$ 的“稳定点”.若函数 $f (x) = x^{2} - x - 3$ ，则 $f (x)$ 的“不动点”为，将 $f (x)$ 的“稳定点”的集合记为 $A$ ，即 $A = {x ∣ f (f (x)) = x}$ ，则集合 $A =$ .

查看试题解析

四、解答题

17. 已知 $- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2}$ ，且满足____.从① $s i n α = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ；② $c o s α + s i n α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ；③ $t a n α = - \frac{1}{2}$ 这三个条件中选择合适的一个，补充在上面的问题中，然后作答.

(1)、求 $c o s α - s i n α$ 的值；

(2)、若角 $β$ 的终边与角 $α$ 的终边关于 $y$ 轴对称，求 $\frac{c o s β - s i n β}{c o s β + s i n β}$ 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + 4) x + 4 a$ .

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) + 4 x < 0$ 的解集为 $(m ， n) (m > 0 ， n > 0)$ ，求 $4 m + n$ 的最小值.

查看试题解析
19. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国在控制住疫情后，一方面防止境外疫情输人，另一方面逐步复工复产，减少经济衰退对企业和民众带来的损失.为了进一步增强市场竞争力，某企业计划在2023年利用新技术生产某款手机.经过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产 $x$ （单位：千部）手机，需另投人可变成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 200 x + 800 ， 0 < x < 40 ， \\ 801 x + \frac{8100}{x} - 8500 ， x ⩾ 40 . \end{array}$ 由市场调研知，每部手机售价 $0.8$ 万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额一固定成本一可变成本）

(1)、求2023年的利润 $W (x)$ （单位：万元）关于年产量 $x$ （单位：千部）的函数关系式.

(2)、2023年的年产量为多少（单位：千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x)$ 对一切实数 $m ， n$ ，都有 $f (m + n) = f (n) + m (m + 2 n - 1)$ 成立，且 $f (2) = - 1$ ，函数 $g (x) = \frac{4 x}{1 + x^{2}}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $\forall x_{1} \in [0 ， + ∞) ， \exists x_{2} \in [- 1 ， 3] ， g (x_{1}) = f (x_{2}) - x_{2} + a$ ，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
21. 已知 $f (x)$ 是二次函数，且满足 $f (0) = 2 ， f (x + 2) = f (x) + 4 x + 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式.

(2)、已知函数 $g (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 满足以下两个条件：① $g (x)$ 的图象恒在 $f (x)$ 图象的下方；②对任意 $x \in R ， g (x) ⩾ x + 1$ 恒成立.求 $b c + 3 a$ 的最大值.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = | x + \frac{4}{x} - 5 | (x > 0)$ .

(1)、若方程 $f (2^{x}) = m$ 有4个不相等的实数根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ .求证： $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 4$ .

(2)、是否存在实数 $a ， b$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上单调，且 $f (x)$ 的取值范围为 $[m a ， m b]$ ？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

查看试题解析