2022~2023学年中考数学一轮复习专题19二次函数综合问题（压轴）

试卷更新日期：2022-12-14 类型：一轮复习

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一、含参问题

1. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 、 $B (4 ， 0)$ ，若以 $A B$ 为直径的圆与在 $x$ 轴下方的抛物线有交点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq \frac{1}{3}$ B、 $a > \frac{1}{3}$ C、 $0 < a < \frac{1}{3}$ D、 $0 < a \leq \frac{1}{3}$

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2. 在平面直角坐标系中，若点 $P$ 的横坐标和纵坐标相等，则称点 $P$ 为完美点 $.$ 已知二次函数 $y = a x^{2} + 4 x + c (a \neq 0)$ 的图象上有且只有一个完美点 $(\frac{3}{2} ， \frac{3}{2})$ ，且当 $0 \leq x \leq m$ 时，函数 $y = a x^{2} + 4 x + c - \frac{3}{4} (a \neq 0)$ 的最小值为 $- 3$ ，最大值为 $1$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 \leq m \leq 0$ B、 $2 \leq m \leq 4$ C、 $2 \leq m < \frac{7}{2}$ D、 $\frac{9}{2} \leq m \leq \frac{7}{2}$

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3. 已知二次函数y＝﹣x²+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．

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4. 已知二次函数 $y = a {(x - 1)}^{2} - a (a \neq 0)$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，y的最小值为 $- 4$ ，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或4 B、 $\frac{4}{3}$ 或 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{4}{3}$ 或4 D、 $- \frac{1}{2}$ 或4

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5. 若二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为．

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6. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 $(- 2 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ .对于下列结论：① $a b c < 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $a + b + c = 0$ ；④ $a m^{2} + b m < \frac{1}{4} (a - 2 b)$ （其中 $m \neq - \frac{1}{2}$ ）；⑤若 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $B (x_{2} ， y_{2})$ 均在该函数图象上，且 $x_{1} > x_{2} > 1$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ .其中正确结论的个数共有个.

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7. 已知直线l： $y = k x + b$ 经过点（0，7）和点（1，6）．

(1)、求直线l的解析式；

(2)、若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q' 也在G上时，求G在 $\frac{4 m}{5}$ ≤ $x$ ≤ $\frac{4 m}{5} + 1$ 的图象的最高点的坐标．

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8. 已知： $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 2 ， - 1)$ ， $B (0 ， - 3)$ ．

(1)、求函数解析式；

(2)、平移抛物线使得新顶点为 $P (m ， n)$ （m＞0）．
①倘若 $S_{△ O P B} = 3$ ，且在 $x = k$ 的右侧，两抛物线都上升，求 $k$ 的取值范围；
② $P$ 在原抛物线上，新抛物线与 $y$ 轴交于 $Q$ ， $∠ B P Q = 12 0^{∘}$ 时，求 $P$ 点坐标．

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9. 已知二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + 3$ ，当 $a ⩽ x ⩽ \frac{1}{2}$ 时，函数值y的最小值为1，则a的值为．

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10. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 2)$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、点 $P$ 是第三象限抛物线上一点，直线 $P E$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ， $△ B C D$ 的面积为12，求点 $P$ 的坐标．

(3)、在（2）的条件下，若点 $E$ 是线段 $B C$ 上点，连接 $O E$ ，将 $△ O E B$ 沿直线 $O E$ 翻折得到 $△ O E B^{'}$ ，当直线 $E B^{'}$ 与直线 $B P$ 相交所成锐角为 $45 °$ 时，求点 $B^{'}$ 的坐标．

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11. 已知二次函数y=ax²+4ax+3a(a为常数)．

(1)、若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式，：

(2)、若a>0，当x< $\frac{m}{3}$ 时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围，

(3)、若二次函数在-3≤x≤1时有最大值3，求a的值．

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二、抛物线型问题

12. 如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度 $v (m / s)$ 从D点滑出，运动轨迹近似抛物线 $y = - a x^{2} + 2 x + 20 (a \neq 0)$ ．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ）

(1)、求线段CE的函数表达式（写出 $x$ 的取值范围）．

(2)、当 $a = \frac{1}{9}$ 时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．

(3)、在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与 $v^{2}$ 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于 $v^{2}$ 的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．

②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？

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13. 在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝ $- \frac{1}{32}$ x²+ $\frac{1}{2}$ x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为m时，竖直高度达到最大值．

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三、函数应用最值问题

14. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x²+2mx+3m，点A（3，0）．

(1)、当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；

(2)、证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；

(3)、在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC．

(1)、求抛物线的解析式及点B的坐标．

(2)、如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．

(3)、动点P以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + x + m$ （a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）.

(1)、求此抛物线的函数解析式.

(2)、点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)、点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标.

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17. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 3 a x - 4 a$ 与x轴交于 $A 、 B$ 两点（A左B右），交y轴负半轴点C，P是第四象限抛物线上一点．

(1)、若 $S_{△ A B C} = 5$ ，求a的值；

(2)、若 $a = 1$ ，过点P作直线垂直于x轴，交 $B C$ 于点Q，求线段 $P Q$ 的最大值，并求此时点P的坐标；

(3)、直线 $A P$ 交y轴于点M，直线 $B P$ 交y轴于点N，求 $\frac{4 O M + O N}{O C}$ 的值．

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四、特殊三角形存在性问题

18. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、在对称轴上找一点Q，使 $△ A C Q$ 的周长最小，求点Q的坐标；

(3)、点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当 $△ P M B$ 是以 $P B$ 为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = x - 5$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 过A，B两点，与x轴的另一个交点为C， $t a n ∠ C B O = \frac{1}{5}$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、若点P为抛物线的顶点，求四边形 $A P B C$ 的面积；

(3)、抛物线上是否存在点Q，使得 $△ A B Q$ 是以 $A B$ 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

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五、特殊四边形存在性问题

20. 如图，在平面直角坐标系中，经过点 $A (4 ， 0)$ 的直线AB与y轴交于点 $B (0 ， 4)$ ．经过原点O的抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．

(1)、求抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的表达式；

(2)、M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当 $M N ∥ y$ 轴且 $M N = 2$ 时，求点M的坐标；

(3)、P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 已知抛物线 $C_{1} ： y = - \frac{1}{2} (m^{2} + 1) x^{2} - (m + 1) x - 1$ 与x轴有公共点．

(1)、当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；

(2)、将抛物线 $C_{1}$ 先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线 $C_{2}$ （如图所示），抛物线 $C_{2}$ 与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；

(3)、D为抛物线 $C_{2}$ 的顶点，过点C作抛物线 $C_{2}$ 的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线 $C_{2}$ 于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝-x²+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．

(1)、求抛物线y＝-x²+bx+c的表达式；

(2)、M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；

(3)、P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 如图，拋物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交y轴于点 $A (0 ， 2)$ ，交x轴于点 $B (4 ， 0)$ 、C两点，点D为线段 $O B$ 上的一个动点（不与 $O 、 B$ 重合)，过点D作 $D M ⊥ x$ 轴，交 $A B$ 于点M，交抛物线于点N.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、连接 $A N$ 和 $B N$ ，当 $△ A B N$ 的面积最大时，求出点D的坐标及 $△ A B N$ 的最大面积；

(3)、在平面内是否存在一点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以 $A M$ 为边的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+2经过A（ $- \frac{1}{2}$ ， 0），B（3， $\frac{7}{2}$ ）两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

(3)、抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于 $A (- 2 ， 0) 、 B (8 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，连接AC、BC．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、将 $△ A B C$ 沿AC所在直线折叠，得到 $△ A D C$ ，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；

(3)、点P是抛物线上的一动点，当 $∠ P C B = ∠ A B C$ 时，求点P的坐标．

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26. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} - b x$ （b是常数）经过点 $(2 ， 0)$ ．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（ $m \neq 0$ ）．以点A为中心，构造正方形 $P Q M N$ ， $P Q = 2 | m |$ ，且 $P Q ⊥ x$ 轴．

(1)、求该抛物线对应的函数表达式：

(2)、若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接 $B C$ ．当 $B C = 4$ 时，求点B的坐标；

(3)、若 $m > 0$ ，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；

(4)、当抛物线与正方形 $P Q M N$ 的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为 $\frac{3}{4}$ 时，直接写出m的值．

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27. 如图，已知直线y＝ $\frac{4}{3}$ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax²+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；

(3)、若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

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六、函数图象问题

28. 二次函数y＝ax²+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝ $\frac{a}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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29. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的大致图象如图所示，顶点坐标为 $(- 2 ， - 9 a)$ ，下列结论： ① $a b c < 0$ ； ② $4 a + 2 b + c > 0$ ；③ $5 a - b + c = 0$ ；④若方程 $a (x + 5) (x - 1) = - 1$ 有两个根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $- 5 < x_{1} < x_{2} < 1$ ； ⑤若方程 $| a x^{2} + b x + c | = 1$ 有四个根，则这四个根的和为 $- 8$ ，其中正确的结论有（）

A、①②③ B、①②⑤ C、②③④⑤ D、①②④⑤

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30. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a > 0$ ），且 $a + b + c = - \frac{1}{2}$ ， $a - b + c = - \frac{3}{2}$ ．给出下列结论：
① $a b c < 0$ ；② $2 a + 2 b + c > 0$ ；③抛物线与 $x$ 轴正半轴必有一个交点；④当 $2 \leq x \leq 3$ 时， $y_{最小值} = 3 a$ ；⑤该抛物线与直线 $y = x - c$ 有两个交点．其中正确结论的个数为（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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31. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 交x轴于点 $A (3 ， 0)$ 和 $B (- 1 ， 0)$ ，交y轴于点C．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、D是直线 $A C$ 上方抛物线上一动点，连接 $O D$ 交 $A C$ 于点N，当 $\frac{D N}{O N}$ 的值最大时，求点D的坐标；

(3)、P为抛物线上一点，连接 $C P$ ，过点P作 $P Q ⊥ C P$ 交抛物线对称轴于点Q，当 $t a n ∠ P C Q = \frac{3}{4}$ 时，请直接写出点P的横坐标．

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32. 如图， $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将 $△ ABC$ 在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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33. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = \sqrt{5}$ ， $A C = 2 \sqrt{5}$ ， $△ D E F ≌ △ A B C$ ，点B，C，D，E在同一直线上（点C和点D重合）， $△ D E F$ 从点C出发沿射线 $C B$ 方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点E运动到点C处时，停止运动．设运动时间为x秒， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 重叠部分的面积为y，下列图象能反映y与x之间函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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