湖北省部分优质重点高中2022-2023学年高三上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2022-12-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 2 x - 1} ， B = {x | x < 2 x^{2}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (\frac{1}{2} ， 1)$

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2. 若复数z满足方程 $z^{2} - 4 z + 6 = 0$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 \pm \sqrt{3} i$ B、 $2 \pm \sqrt{2} i$ C、 $- 2 \pm \sqrt{3} i$ D、 $- 2 \pm \sqrt{2} i$

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3. 在公比为负数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} = - 1 ， a_{7} = 256 a_{3}$ ，则 $a_{3} + 2 a_{4} + a_{5} =$ （）

A、48 B、 $- 48$ C、80 D、 $- 80$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} + x ， x < 2 ， \\ x^{2} + 2 a ， x \geq 2 ， \end{array}$ 则“ $a \leq - 2$ ”是“ $f (x)$ 有2个零点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为 $y = A s i n (ω x + φ)$ 时，通过降噪系统产生声波曲线 $y = - A s i n (ω x + φ)$ 将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线 $y = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线的解析式为（）

A、 $y = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $y = 2 c o s (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $y = 2 c o s (2 x - \frac{π}{6})$

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6. 已知某圆台的体积为 $(9 + 3 \sqrt{2}) π$ ，其上底面和下底面的面积分别为 $3 π ， 6 π$ ，且该圆台两个底面的圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（）

A、 $25 π$ B、 $26 π$ C、 $27 π$ D、 $28 π$

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7. 若直线 $x + y + m = 0$ 是曲线 $y = x^{3} + n x - 52$ 与曲线 $y = x^{2} - 3 l n x$ 的公切线，则 $m - n =$ （）

A、 $- 30$ B、 $- 25$ C、26 D、28

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8. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $△ P A B$ 是边长为2的正三角形，E，F分别是棱 $P D ， P C$ 上的动点，则 $A E + E F + B F$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{2} + 2$ B、 $\sqrt{2} + 3$ C、 $\sqrt{7} + 2$ D、 $\sqrt{7} + 1$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \sqrt{- 4 x^{2} + m x}$ ，设命题p：对任意 $m \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x)$ 的定义域与值域都相同．下列判断正确的是（）

A、p是真命题 B、p的否定是“对任意 $m \in (0 ， + \infty) ， f (x)$ 的定义域与值域都不相同” C、p是假命题 D、p的否定是“存在 $m \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $f (x)$ 的定义域与值域不相同”

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10. 某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．抽奖结果共分5个等级，等级工与购物卡的面值y（元）的关系式为 $y = e^{a x + b} + k$ ， 3等奖比4等奖的面值多100元，比5等奖的面值多120元，且4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，则（）

A、 $a = - l n 5$ B、 $k = 15$ C、1等奖的面值为3130元 D、3等奖的面值为130元

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11. 已知点 $A (u + 2 ， 0)$ ， $B (- u ， 0)$ ，若圆 $C ： {(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ 上存在唯一的一点P，使得 $P A ⊥ P B$ ，则u的值可能为（）

A、 $- 9$ B、 $- 5$ C、1 D、7

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12. 已知 $l n \frac{10}{21} + \frac{19}{21} > 0$ ，设 $a = 1 . 9^{2.1} ， b = 4 ， c = 2 . 1^{1.9} ， d = 2^{2.1}$ ，则（）

A、 $a > b$ B、 $c > b$ C、 $c > a$ D、 $d > c$

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三、填空题

13. 设向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ ，且 $| 2 \vec{a} | = | 3 \vec{b} | = 6$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ ．

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14. $s i n 12345 °$ 的值为．

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15. 颇受青年朋友喜欢的蛋白石六角锥灵摆吊坠如图（1）所示，现在我们通过 $D I Y$ 手工制作一个六角锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为 $10 c m$ ，该纸片上的正六边形 $A B C D E F$ 的中心为 $O ， A_{1} ， B_{1} ， C_{1} ， D_{1} ， E_{1} ， F_{1}$ 为圆O上的点，如图（2）所示． $△ A_{1} A B ， △ B_{1} B C ， △ C_{1} C D ， △ D_{1} D E ， △ E_{1} E F ， △ F_{1} F A$ 分别是以 $A B ， B C ， C D ， D E ， E F ， F A$ 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 $A B ， B C ， C D ， D E ， E F ， F A$ 为折痕折起 $△ A_{1} A B ， △ B_{1} B C ， △ C_{1} C D ， △ D_{1} D E ， △ E_{1} E F ， △ F_{1} F A$ ，使 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1} ， D_{1} ， E_{1} ， F_{1}$ 重合，得到六棱锥，当底面六边形的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为 $c m^{3}$ ．

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16. 若 $a > b > 1$ ，且 $a + 3 b = 5$ ，则 $\frac{1}{a - b} + \frac{4}{b - 1}$ 的最小值为， $a b - b^{2} - a + b$ 的最大值为．

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四、解答题

17. a，b，c分别为 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边．已知 $5 a c o s (π - A) = b c o s (π - C) - c c o s B$ ．

(1)、求 $c o s A$ ；

(2)、若 $b - c = 1 ， a^{2} = 4 b + c^{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ，点E在 $C C_{1}$ 上，且 $C E = 2 E C_{1} = 2$ ．

(1)、若平面 $A_{1} B E$ 与 $D_{1} C_{1}$ 相交于点F，求 $D_{1} F$ ；

(2)、求二面角 $A - B E - A_{1}$ 的余弦值．

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19. 将函数 $y = 2 s i n 3 x c o s 3 x + \sqrt{3} c o s 6 x$ 的图象向左平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位长度后得到函数 $f (x)$ 的图象．

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求 $φ$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(π ， \frac{19 π}{18})$ 上单调，求 $φ$ 的取值范围．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1 ， {\frac{n a_{n}}{S_{n}}}$ 是公差为2的等差数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式以及 $S_{100}$ ；

(2)、证明： $| \frac{1}{a_{1}} | + | \frac{1}{2 a_{2}} | + ⋯ + | \frac{1}{n a_{n}} | < \frac{3}{2}$ ．

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21. 已知圆W经过 $A (3 ， 3) ， B (2 ， 2 \sqrt{2}) ， C (2 ， - 2 \sqrt{2})$ 三点．

(1)、求圆W的方程．

(2)、若经过点 $P (- 1 ， 0)$ 的直线 $l_{1}$ 与圆W相切，求直线 $l_{1}$ 的方程．

(3)、已知直线 $l_{2}$ 与圆W交于M，N（异于A点）两点，若直线 $A M ， A N$ 的斜率之积为2，试问直线 $l_{2}$ 是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}} - k x + 2 k l n x$ ．

(1)、若 $k = 1$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $k$ 的取值范围．

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