广东省七校联合体2023届高三上学期数学11月第二次联考试卷

试卷更新日期：2022-12-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x, y) | x, y \in N^{*}, y \geq x}$ ， $B = {(x, y) | x + y = 8}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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2. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (2 \sqrt{3} ， 0)$ ，过 $F$ 和 $P (0 ， 2 b)$ 两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{3}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$

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3. 已知复数 $z = c o s 75 ° + i s i n 75 °$ ，则 $\frac{| z |^{2}}{z^{2}} =$ （）．

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、1

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4. 若随机变量 $ξ$ 从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ．现有40000人参加语文考试，成绩大致服从正态分布 $N (100 ， 8^{2})$ ，则可估计本次语文成绩在116分以上的学生人数为（）

A、3640 B、1820 C、910 D、455

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5. Sigmoid函数 $S (x) = \frac{1}{1 + e^{- x}}$ 是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记 $S^{'} (x)$ 为Sigmoid函数的导函数，则下列结论正确的是（）

A、 $S^{'} (x) = \frac{1}{(1 + e^{x})^{2}}$ B、函数 $S^{'} (x)$ 是奇函数 C、Sigmoid函数的图象是关于 $(0 ， \frac{1}{2})$ 中心对称 D、Sigmoid函数是单调递增函数，函数 $S^{'} (x)$ 是单调递减函数

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6. 如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，…，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列 ${a_{n}}$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{2020}} =$ （）

A、 $\frac{2020}{2021}$ B、 $\frac{2019}{2020}$ C、 $\frac{4021}{2020}$ D、 $\frac{4040}{2021}$

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7. 区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有 $2^{256}$ 种可能；因此，为了破解密码，最坏情况需要进行 $2^{256}$ 次运算.现在有一台机器，每秒能进行 $2.5 \times 1 0^{11}$ 次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ）

A、 $4.5 \times 1 0^{83}$ 秒 B、 $4.5 \times 1 0^{65}$ 秒 C、 $4.5 \times 1 0^{17}$ 秒 D、 $2.8 \times 1 0^{7}$ 秒

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8. 已知 $a = \frac{1}{6} s i n \frac{1}{5}$ ， $b = \frac{1}{5} s i n \frac{1}{6}$ ， $c = \frac{1}{15} c o s \frac{5}{6}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < a < b$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1) ， \vec{b} = (c o s θ ， s i n θ) (0 \leq θ \leq π)$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $| \vec{b} | = 1$ B、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $t a n θ = 1$ C、存在唯一的 $θ$ 使得 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ D、 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的最大值为 $\sqrt{5}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x} - l n x$ ，若 $f (x)$ 在 $x = x_{1}$ 和 $x = x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ 处切线平行，则（）

A、 $\frac{1}{\sqrt{x_{1}}} + \frac{1}{\sqrt{x_{2}}} = \frac{1}{2}$ B、 $x_{1} x_{2} < 128$ C、 $x_{1} + x_{2} < 32$ D、 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 512$

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11. 已知 $f (x) = x - \frac{x^{2}}{π} - s i n x$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $f (x)$ 的零点个数为4 B、 $f (x)$ 的极值点个数为3 C、 $x$ 轴为曲线 $y = f (x)$ 的切线 D、若 $x_{1} + x_{2} = π$ 则 $f (x_{1}) = f (x_{2})$

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12. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，所有棱长均2， $∠ B A D = 60 °$ ， P为 $C C_{1}$ 的中点，点Q在四边形 $D C C_{1} D_{1}$ 内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）

A、当点Q在线段 $C D_{1}$ 上运动时，四面体 $A_{1} B P Q$ 的体积为定值 B、若 $A Q / /$ 平面 $A_{1} B P$ ，则AQ的最小值为 $\sqrt{5}$ C、若 $△ A_{1} B Q$ 的外心为M，则 $\vec{A_{1} B} \cdot \vec{A_{1} M}$ 为定值2 D、若 $A_{1} Q = \sqrt{7}$ ，则点Q的轨迹长度为 $\frac{2 π}{3}$

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三、填空题

13. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为．

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14. 过 $M (\frac{3}{2} ， \frac{1}{2})$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，当 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 最大时，直线 $l$ 的方程为.

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15. 已知集合 $M = {α | f (α) = 0}$ ， $N = {β | g (β) = 0}$ .若存在 $α \in M$ ， $β \in N$ ，使 $| α - β | < n$ ，则称函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 互为“n度零点函数”.若函数 $f (x) = e^{2 - x} - 1$ 与函数 $g (x) = x^{2} - a e^{x}$ 互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为.

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16. 甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有4个红球和1 个白球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）．先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球．分别以 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 表示由甲袋取出的球是红球和白球的事件，以 $B$ 表示由乙袋取出的球是红球的事件，则 $P (B | A_{1}) =$ ， $P (B) =$ ．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $2 \sin C \cos A + \sin (A - C) - \sqrt{3} \cos (A + C) = \sqrt{3}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、设 $∠ B A C$ 的角平分线 $A D$ 交 $B C$ 于 $D$ ，且 $A D = 3$ ， $B D = 2$ ，求 $\cos C$ 的值.

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18. 红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
平均温度 $x / ℃$
21
23
25
27
29
31
33
平均产卵数 $y$ /个
7
11
21
24
66
115
325
$z = l n y$
1.9
2.4
3.0
3.2
4.2
4.7
5.8
附：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} \hat{x} + \hat{a} ， \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、根据散点图判断， $y = b x + a$ 与 $y = c e^{d x}$ （其中 $e = 2.718 ⋯$ 为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，（计算结果精确到0.01）

(2)、根据以往统计，该地每年平均温度达到 $28 ℃$ 以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，假设该地每年平均温度达到 $28 ℃$ 以上的概率为 $\frac{1}{3}$ ．该地今后4年中至少有两年需要人工防治的概率．
参考数据
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} z_{i}$
$\bar{y}$
$\bar{z}$
5215
17713
717
81.3
3.6

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} + 3$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等差数列，且 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{8}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式

(2)、在任意相邻两项 $a_{k}$ 与 ${a_{k}}_{+ 1} (k = 1 ， 2 ， . . .)$ 之间插入 $2^{k}$ 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ${b_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前200项和 $T_{200}$ .

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20. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．

(1)、证明：AE⊥PB；

(2)、若直线PB与平面ABCE所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．

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21. 在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线 $x = - 2$ 的距离比到点 $F (1 ， 0)$ 的距离大1.圆F的方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ ．

(1)、求动点P的轨迹E的方程；

(2)、过点 $Q (2 ， 0)$ 的直线交轨迹E于M、N两点，直线OM、ON分别交圆F于A、B两点．求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．

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22. 已知函数 $f (x) = a (l n x - x) - \frac{e^{x}}{x}$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a > 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性：

(2)、当 $a = - 1$ 时，函数 $g (x) = f (x) + (x + \frac{1}{x}) e^{x} + m x$ 满足：对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $g (x) \geq 1$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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平均温度 $x / ℃$	21	23	25	27	29	31	33
平均产卵数 $y$ /个	7	11	21	24	66	115	325
$z = l n y$	1.9	2.4	3.0	3.2	4.2	4.7	5.8

参考数据
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} z_{i}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$
5215	17713	717	81.3	3.6