广东省广州市四校2023届高三上学期数学第二次模拟联考试卷

试卷更新日期：2022-12-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{x + 1}{x - 1} \leq 0}$ ，集合 $B = {y | y = t a n x ， x \in (- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[- 1 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 1]$ D、 $(- 1 ， 1)$

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2. 已知复数 $z$ 在复平面内对应的点的坐标为 $(3 ， - 4)$ ，则 $| z | + \frac{z}{4 + 3 i} =$ （）

A、 $5 + i$ B、5-i C、 $3 - 5 i$ D、4

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3. 如图，在平行四边形ABCD中， $D E = \frac{1}{2} E C$ ， F为BC的中点，G为线段EF上一点，且满足 $\vec{A G} = \frac{7}{9} \vec{A B} + m \vec{A D}$ ，则m=（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{9}$

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4. 我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）
图1 图2

A、 $12 π$ B、 $24 π$ C、 $36 π$ D、 $48 π$

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5. 已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为 $(4 ， 2)$ ，则点F到直线l的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 如图所示的三角形叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成，第 $n$ 行有 $n$ 个数且两端的数均为 $\frac{1}{n} (n \geq 2)$ ，每个数是它下一行左右相邻的两数的和，如 $\frac{1}{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} ， \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} ， \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ ，则第8行第4个数（从左往右数）为（）

A、 $\frac{1}{280}$ B、 $\frac{1}{168}$ C、 $\frac{1}{140}$ D、 $\frac{1}{105}$

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7. 若对任意实数 $x > 0 ， y > 0$ ，不等式 $x + \sqrt{x y} \leq a (x + y)$ 恒成立，则实数a的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$

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8. 若a＝ $\frac{9 e}{8}$ ， $b = (\frac{10}{9})^{10}$ ， c＝ $e^{\frac{10}{9}}$ ，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系为（）

A、a＜b＜c B、b＜c＜a C、c＜b＜a D、c＜a＜b

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9. 对两个变量 $y$ 和 $x$ 进行回归分析，得到一组样本数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， … $(x_{n} ， y_{n})$ ，则下列说法不正确的是（）

A、若变量 $y$ 和 $x$ 之间的相关系数为 $r = - 0.9462$ ，则变量 $y$ 和 $x$ 之间具有较强的线性相关关系 B、残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C、用决定系数 $R^{2}$ 来刻画回归效果， $R^{2}$ 越小说明拟合效果越好 D、在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高

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二、多选题

10. $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 8$ ， $c = 10$ ， $B = 60 °$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有一个 B、若 $a c o s B = \sqrt{3}$ ， $b s i n A = 3$ ，则角 $B$ 的大小为 $\frac{π}{6}$ C、若 $s i n^{2} A + s i n^{2} B < s i n^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形 D、若 $△ A B C$ 为斜三角形，则 $t a n A + t a n B + t a n C = t a n A t a n B t a n C$

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11. 棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为α，两相邻侧面所成的二面角大小为β，不相邻两侧面所成的二面角大小为γ，则（）

A、β＝2α B、γ＝2α C、β＋γ＝π D、cos²α＋cosβ＝0

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12. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R．记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (2 x + \frac{5}{2})$ 为偶函数， $g (\frac{3}{2} - x)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ B、 $g (- 2) = g (3)$ C、 $g (\frac{1}{2}) = 0$ D、 $f (0) = f (5)$

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三、填空题

13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a₁＝9， $\frac{S_{9}}{9} - \frac{S_{5}}{5}$ ＝﹣4，则an＝．

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14. 正四面体的4个面上分别写着1、2、3、4，将3个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的3个面上的3个数的乘积能被4整除的概率是．

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点P，Q分别是以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆C在第一象限内和第三象限内的一个交点，若 $| P F_{1} | \leq 2 | Q F_{1} |$ ，则椭圆C的离心率的取值范围为．

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16. 四棱锥 $P - A B C D$ 的底面ABCD是矩形，侧面 $P A D ⊥$ 底面ABCD， $∠ A P D = 120 °$ ， $A B = P A = P D = \sqrt{2}$ ，则该四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的表面积为.

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四、解答题

17. 如图，在四边形ABCD中， $∠ A D B = 4 5^{∘}$ ， $∠ B A D = 10 5^{∘}$ ， $A D = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $B C = 2$ ， $A C = 3$ ．

(1)、求边AB的长及 $c o s ∠ A B C$ 的值；

(2)、若记 $∠ A B C = α$ ，求 $s i n (2 α - \frac{π}{3})$ 的值．

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18. 已知等比数列{an}满足条件a₂+a₄＝3（a₁+a₃），a₂n＝3an² ， n∈N^* ，数列{bn}满足b₁＝1，bn﹣bn_﹣₁＝2n﹣1（n≥2，n∈N^*）

(1)、求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)、若数列{cn}满足 $\frac{c_{1}}{a_{1}} + \frac{c_{2}}{a_{2}} + \frac{c_{3}}{a_{3}} + ⋯ + \frac{c_{n}}{a_{n}} = b_{n}$ ， n∈N^* ，求{cn}的前n项和Tn.

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，AD∥BC， $∠ A B C = 120 °$ ， $A B = B C = C D$ ， G是PB的中点，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD．

(1)、求证：平面GAC⊥平面ABCD；

(2)、求二面角 $B - A G - C$ 的余弦值．

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20. 2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战 $6 ： 5$ 惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．

(1)、扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 $\frac{1}{2}$ 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；

(2)、好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为 $p_{n}$ ，易知 $p_{1} = 1 ， p_{2} = 0$ ．
①试证明 ${p_{n} - \frac{1}{4}}$ 为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为 $q_{n}$ ，比较 $p_{10}$ 与 $q_{10}$ 的大小．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ ，且与椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 有相同的焦点，点 $F_{1}$ 到直线 $b x + a y = 0$ 的距离为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l ： y = k (x - c) (| k | < \frac{b}{a})$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，点 $P$ 是 $∠ A F_{1} B$ 的平分线上一动点，且 $\vec{F_{1} P} = λ (\vec{F_{1} A} + \vec{F_{1} B})$ ，证明： $| A F_{2} | \cdot | B F_{2} | = {| A B |}^{2}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + x^{2} - a x$ ，其中 $a \in R$ 且 $a \neq 0$

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x} - \frac{3}{a} l n x$ 的单调区间；

(3)、若存在 $a \in (- \infty ， - 1]$ ，使函数 $h (x) = f (x) + f^{'} (x)$ ， $x \in [- 1 ， b] (b > - 1)$ 在 $x = - 1$ 处取得最小值，试求 $b$ 的最大值.

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