广东省广州市2023届高三上学期数学11月调研试卷

试卷更新日期：2022-12-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {x | - 2 \leq x < 2}$ ，则如图中阴影部分表示的集合为（）

A、 ${x | x \geq - 2}$ B、 ${x | x < - 2}$ C、 ${x | 1 < x < 2}$ D、 ${x | x \leq 1}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 3 + i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $\vec{A E} = 3 \vec{B E}$ ，若 $\vec{E C} = a \vec{A B} + b \vec{A D} (a ， b \in R)$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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4. 为了得到 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} s i n 2 x + \frac{1}{2} c o s 2 x$ 的图象，需把 $g (x) = c o s x$ 的图象上所有的点（）

A、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

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5. 科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基在 $1903$ 年提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大 $v$ 满足公式： $v = v_{0} l n \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}}$ ，其中 $m_{1} ， m_{2}$ 分别为火箭结构质量和推进剂的质量， $v_{0}$ 是发动机的喷气速度．已知某实验用的单级火箭模型结构质量为 $a$ $k g$ ，若添加推进剂 $3 a$ $k g$ ，火箭的最大速度为 $2.8$ $k m / s$ ，若添加推进剂 $5 a$ $k g$ ，则火箭的最大速度约为（参考数据： $l n 2 \approx 0.7 ， l n 3 \approx 1.1$ )（）

A、 $4.7$ $k m / s$ B、 $4.2$ $k m / s$ C、 $3.6$ $k m / s$ D、 $3.1$ $k m / s$

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6. 函数 $f (x) = \frac{s i n x}{e^{| x |}}$ 在 $[- π ， π]$ 上大致的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $α \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ， $2 s i n 2 α + 1 = c o s 2 α$ ，则 $\frac{1 + t a n \frac{α}{2}}{1 - t a n \frac{α}{2}} =$ （）

A、 $2 + \sqrt{5}$ B、 $- 2 - \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5} - 2$ D、 $2 - \sqrt{5}$

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8. 设 $a = 0.1$ ， $b = s i n 0.1$ ， $c = 1.1 l n 1.1$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系正确的是（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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9. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公比为 $q$ ，则下列选项正确的有（）

A、若 $q > 1$ ，则 $a_{n + 1} > a_{n}$ B、 $a_{1} a_{2} ⋯ a_{n} = {(a_{1} a_{n})}^{\frac{n}{2}}$ C、数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列 D、对任意正整数 $n$ ， ${(S_{2 n} - S_{n})}^{2} = S_{n} (S_{3 n} - S_{2 n})$

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二、多选题

10. 下列选项正确的有（）

A、命题“ $\forall x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 < 0$ ”的否定是：“ $\exists x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \geq 0$ ” B、命题“ $\forall x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 < 0$ ”的否定是：“ $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \geq 0$ ” C、 $α = \frac{π}{6} + 2 k π (k \in Z)$ 是 $s i n α = \frac{1}{2}$ 的充分不必要条件 D、 $s i n α = \frac{1}{2}$ 是 $α = \frac{π}{6} + 2 k π (k \in Z)$ 的必要不充分条件

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11. 已知 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且只有三个零点，则下列选项正确的有（）

A、在 $(0 ， π)$ 上存在 $x_{1} ， x_{2}$ 使得 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 2$ B、 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{7}{3} ， \frac{10}{3})$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有且只有一个极大值点

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12. 已知函数 $f (x)$ 、 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x)$ 为偶函数，且 $f (x) + g (2 - x) = 1$ ， $g (x) - f (x - 4) = 3$ ，下列说法正确的有（）

A、函数 $g (x)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(- 1 ， - 1)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 是以 $4$ 为周期的周期函数 D、函数 $g (x)$ 是以 $6$ 为周期的周期函数

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为单位向量， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为．

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14. 如图，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌 $9$ 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 $9$ 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 $9$ 块，向外每环依次也增加 $9$ 块，已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板（不含天心石） $3402$ 块，则中层有扇面形石板块

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15. 方程 $e^{x} - a x + a = 0$ 有唯一的实数解，实数 $a$ 的取值范围为．

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16. 已知只有20项的数列 ${a_{n}}$ 满足下列三个条件：① $a_{i} \in {- 1 ， 0 ， 1} ， i = 1 ， 2 ， . . . ， 20$ ；② $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{20} = 5$ ；③ $43 \leq (a_{1} + 1)^{2} + (a_{2} + 1)^{2} + . . . + (a_{20} + 1)^{2} \leq 57$ ，对所有满足上述条件的数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + . . . + a_{20}^{2}$ 共有 $k$ 个不同的值，则 $k =$ ．

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四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 9 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = l o g_{3} a_{n}$ ，证明： $\frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + ⋯ + \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}} < \frac{1}{2}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x} (2 x^{2} + a x - 1)$ ，其中 $a \in R$ ，若 $f (x)$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $2 x + b y + 1 = 0$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3 ， 1]$ 上的最值．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $2 c + b = 2 a c o s B$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若角 $A$ 的平分线与 $B C$ 交于点 $M$ ， $B M = 4 \sqrt{7}$ ， $C M = 2 \sqrt{7}$ ，求线段 $A M$ 的长．

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ 为线段 $A B$ 的中点， $C B = 4$ ， $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $A_{1} C_{1} = 8$ ．

(1)、证明： $C B ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、若三棱锥 $A - A_{1} D C$ 的体积为 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ ，求平面 $D A_{1} C$ 与平面 $A_{1} C B$ 夹角的余弦值．

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21. 某家具制造公司，欲将如图所示的一块不规则的名贵木板裁制成一个矩形桌面板，已知 $A B ⊥ A D$ ， $A B / / D C$ ，且 $A D = D C = 2 A B = 2$ 米，曲线段 $B C$ 是以点 $B$ 为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形桌面板的相邻两边分别落在 $A D$ 、 $D C$ 上，且一个顶点落在曲线段 $B C$ 上，问应如何精准设计才能使矩形桌面板的面积最大？并求出最大的面积．

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22. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + a l n x$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > - 10 + l n a$ ．

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