广东省“深惠湛东”四校2022-2023学年高二上学期数学联考试卷

试卷更新日期：2022-12-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $\vec{a} = (2 ， 1 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， \frac{1}{2} ， λ)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $λ$ 等于（）

A、 $- 6$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、6

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2. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，且 $\vec{M B} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ ，则 $x + y + z$ 等于（）

A、 $1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $0$ D、 $- 1$

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3. 已知直线 $l_{1} ， l_{2}$ 的斜率是方程 $x^{2} - p x - 2 = 0$ 的两个根，则（）

A、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ B、 $l_{1} / / l_{2}$ C、 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交但不垂直 D、 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的位置关系不确定

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4. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (b > a > 0)$ 两条渐近线的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 已知 $F$ 为抛物线 $y^{2} = x$ 的焦点，点 $A ， B ， C$ 在抛物线上， $F$ 为 $△ A B C$ 的重心，则 $| A F | + | B F | + | C F | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2$

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6. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的左、右焦点，焦距为 $2 c$ ， $M$ 是椭圆 $C$ 上一点， $l$ 是 $∠ F_{1} M F_{2}$ 的外角平分线，过 $F_{2}$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $P$ ，则 $| O P | =$ （）

A、 $2 a$ B、 $b$ C、 $c$ D、 $a$

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，焦距为 $2 c$ ．若以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与直线 $a x - b y + 2 a c = 0$ 有交点，则双曲线C的离心率取值范围为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， + ∞)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $[2 ， + \infty)$

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8. 法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1 (0 < m < 4)$ 的蒙日圆为 $E ： x^{2} + y^{2} = 7$ ，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（）

A、椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、M到C的右焦点的距离的最大值为 $\sqrt{7} + 1$ C、若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{3}{4}$ D、 $△ M P Q$ 面积的最大值为 $\frac{7}{2}$

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二、多选题

9. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， - 2 ， 2)$ ， $\vec{b} = (0 ， 2 ， 0)$ ， $\vec{a} ， \vec{b}$ 构成的平面记为 $α$ ，则下列说法正确的是（）

A、向量 $\vec{c} = (- 2 ， 0 ， 1)$ 与 $α$ 垂直 B、向量 $\vec{d} = (1 ， 0 ， 2)$ 与 $α$ 平行 C、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 分别是 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的方向向量，则直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 所成的角的余弦值为 $- \frac{2}{3}$ D、向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $(0 ， - 2 ， 0)$

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10. 下列说法中，正确的有（）．

A、直线 $y = 2 x - 1$ 在y轴上的截距为 $- 1$ B、过点 $P (- 1 ， 2)$ 且在x，y轴截距相等的直线方程为 $x + y - 1 = 0$ C、若点 $(0 ， 0)$ 在圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - k^{2} - 2 k + 8 = 0$ 外，则 $- 4 < k < 2$ D、已知点 $P (x ， y)$ 是直线 $3 x + 4 y - 7 = 0$ 上一动点，过点P作圆 $C ： x^{2} + 2 x + y^{2} = 0$ 的两条切线，A，B为切点，则四边形PACB面积的最小值为 $\sqrt{3}$

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11. 已知等轴双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过双曲线C上的一点M作两条渐进线的垂线，垂足分别为P，Q，则（）

A、双曲线C的离心率为2 B、直线MP与直线MQ的斜率之积为定值 C、四边形OPMQ面积的最大值为 $a^{2}$ （O为坐标原点） D、 $| F_{1} F_{2} | = 4 \sqrt{| M P | \cdot | M Q |}$

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12. 已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面为正方形， $A A_{1} = \sqrt{3} A B = \sqrt{3}$ ， P为直四棱柱内一点，且 $\vec{A P} = m \vec{A B} + n \vec{A D_{1}}$ ，其中 $m \in [0 ， 1]$ ， $n \in [0 ， 1]$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，三棱锥 $P - A C D_{1}$ 的体积为定值 B、当 $n = \frac{1}{2}$ 时，存在点P，使得 $P A ⊥ P C$ C、当 $m + n = 1$ 时， $P A + P C$ 的最小值为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、当 $m + 2 n = 1$ 时，存在唯一的点P，使得平面 $P A D ⊥$ 平面PBC

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三、填空题

13. 在空间直角坐标系Oxyz中， $A (2 ， 1 ， 1)$ ， $B (b ， 0 ， 5)$ ， $C (0 ， c ， 4)$ ，若四边形 $O A B C$ 为平行四边形，则 $b + c =$ .

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14. 设抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点为 $F$ ， $A (t ， \frac{1}{4})$ 为抛物线上一点，则 $| A F | =$ ．

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15. 已知直线 $l_{1} ： m x + n y = 3 m + n$ 与直线 $l_{2} ： n x - m y - n + 3 m = 0 (m ， n \in R)$ 相交于点M，点N是圆 $C ： {(x + 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ 上的动点，则 $| M N |$ 的取值范围为．

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16. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点是 $F (1 ， 0)$ ， O为坐标原点，过F的直线l交椭圆于A，B两点．若恒有 ${| O A |}^{2} + {| O B |}^{2} < {| A B |}^{2}$ ，则椭圆离心率的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知圆心坐标为 $(1 ， 2)$ 的圆 $C$ 与 $x$ 轴相切．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l ： x + y - m = 0$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求 $m$ 的值．
条件①： $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ；条件②： $∠ A C B = 120 °$ ．

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = 1$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ． $M$ 为侧棱 $B B_{1}$ 的中点，连接 $A M ， C M ， C_{1} M$ ．

(1)、求 $C_{1} M$ 与平面 $A C M$ 所成角；

(2)、求二面角 $C - A M - B$ 的余弦值．

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19. 已知直线 $l ： y = x$ 与双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $A$ ， $B$ 两点的横坐标之积为 $- \frac{3}{2}$ ．

(1)、求双曲线C的离心率 $e$ ；

(2)、设与直线 $l$ 平行的直线 $m$ 与双曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $△ O M N$ 的面积为 $3 \sqrt{2}$ （O为坐标原点），求直线 $m$ 的方程．

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20. 如图，在平面四边形ABCD中， $B C ⊥ C D$ ， $B C = C D = \sqrt{2}$ ， $A B = A D$ ．以BD为折痕把 $△ A B D$ 和 $△ C B D$ 向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置（E，F不重合）．

(1)、求证： $E F ⊥ B D$ ；

(2)、若平面 $E B D ⊥$ 平面FBD，点G为 $△ A B D$ 的重心， $E G ⊥$ 平面ABD，且直线EF与平面FBD所成角为 $60 °$ ．
①AB的长度；
②求二面角 $A - B E - D$ 的余弦值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $A (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} y_{0} \neq 0)$ 为椭圆 $C$ 上的一点
．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若过原点 $O$ 的直线 $B D$ 与椭圆 $C$ 交于点 $B ， D$ ，且直线 $B D$ 的斜率与直线 $O A$ 的斜率满足 $k_{B D} + 2 k_{O A} = 0$ ，求 $△ A B D$ 面积的最大值．

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22. 已知 $A (0 ， 2)$ ， $B (0 ， - 2)$ ， P为平面上的一个动点．设直线AP，BP的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且满足 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{1}{3}$ ．记动点P的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、过点 $M (\frac{3}{2} ， - \frac{1}{2})$ 的动直线l与曲线C交于E，F两点．曲线C上是否存在定点N，使得 $N E ⊥ N F$ 恒成立（直线 $l$ 不经过点 $N$ ）？若存在，求出点N的坐标，并求 $\frac{1}{{| N E |}^{2}} + \frac{1}{{| N F |}^{2}}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

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