安徽省皖优联盟2022-2023学年高三上学期数学12月第二次阶段性联考试卷

试卷更新日期：2022-12-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 3 x^{2} - 2 x - 1 < 0} ， B = {x | x \geq a}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{3})$ C、 $[1 ， + \infty ）$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{3}]$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{z}{1 - i} - \frac{i}{1 + i} = 1 ，$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 + i$ B、 $- 2 - i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

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3. 贴近自然，氛围轻松的露营正成为当下大众休闲的新方式，这使得国内露营经济市场规模迅速增长.下图是 $2014$ 年 $\sim 2025$ 年国内露营经济市场规模及同比增长率 $（$ 其中 $2022$ 年 $\sim 2025$ 年为预测数据 $）$ ，根据该图，下列结论错误的是（）

A、 $2015$ 年 $\sim 2021$ 年国内露营经济市场规模逐年增长率均超过 $9 %$ B、 $2015$ 年 $\sim 2021$ 年国内露营经济市场规模增加最大的是 $2018$ 年 C、根据预测数据 $2025$ 年国内露营经济市场规模是 $2021$ 年国内露营经济市场规模的 $3$ 倍以上 D、 $2014$ 年 $\sim 2021$ 年国内露营经济市场规模的中位数是 $202$ 亿元

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4. 若锐角 $θ$ 满足 $t a n θ = 3 s i n 2 θ$ ，则 $c o s 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 已知所有棱长均相等的三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $V$ ，把该三棱锥分别截去以 $A ， B ， C ， D$ 为一个顶点的四个小正三棱锥 $（$ 如图所示 $）$ ，使得剩余的几何体的所有棱长均相等，则剩余几何体的体积为（）

A、 $\frac{5}{9} V$ B、 $\frac{2}{3} V$ C、 $\frac{8}{9} V$ D、 $\frac{23}{27} V$

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6. 已知 $a = l o g_{6} 15 ， b = 3 l n 2 ， c = \sqrt[4]{5}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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7. 函数 $f (x) = (2 c o s ω x - 1) s i n (ω x - \frac{π}{4}) ， ω > 0$ 在 $(0 ， 3 π)$ 上有 $6$ 个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{4} ， \frac{13}{12}]$ B、 $(\frac{7}{9} ， \frac{13}{12}]$ C、 $(\frac{3}{4} ， \frac{11}{9}]$ D、 $(\frac{7}{9} ， \frac{11}{9}]$

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8. 已知直线 $l ： 3 m x - 3 y - m - 1 = 0$ 和椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > b > 0 ） .$ 若对任意实数 $m$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 恒有公共点，且存在实数 $m$ 使得直线 $l$ 与椭圆 $C$ 仅有一个公共点， $C$ 的离心率的取值范围为 $（ \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2} ）$ ，则椭圆 $C$ 的长轴长的取值范围是（）

A、 $（ \frac{\sqrt{10}}{6} ， \frac{\sqrt{3}}{2} ）$ B、 $（ \frac{\sqrt{5}}{3} ， \frac{2 \sqrt{3}}{3} ）$ C、 $（ \frac{\sqrt{10}}{3} ， \frac{2 \sqrt{3}}{3} ）$ D、 $（ \frac{\sqrt{5}}{6} ， \frac{2 \sqrt{3}}{3} ）$

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二、多选题

9. 过点 $P (- 2 ， 1)$ 的直线与函数 $f (x) = x^{3} + 1$ 的图象相切于点 $Q (x_{0} ， y_{0})$ ，则 $x_{0}$ 的值可以是（）

A、 $0$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $- 3$

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10. 若单位向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 满足 $| \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} | + 2 \sqrt{3} \vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = 0$ ，则（）

A、 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = - \frac{1}{3}$ B、 $| \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} | = \sqrt{3}$ C、 $(2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}) ⊥ \vec{e_{2}}$ D、 $< \vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} > = \frac{2 π}{3}$

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11. 若动点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = k （ k > 0$ 且 $k \neq 1 ）（$ 其中点 $A ， B$ 是不重合的两个定点 $）$ ，则点 $P$ 的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆 $.$ 已知点 $A （ - 2 ， 0 ）$ ， $B （ 2 ， 0 ）$ ，动点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \sqrt{2}$ ，点 $P$ 的轨迹为圆 $C$ ，则（）

A、圆 $C$ 的方程为 $（ x - 6 ）^{2} + y^{2} = 32$ B、若圆 $C$ 与线段 $A B$ 交于点 $M$ ，则 $\frac{| A M |}{| M B |} = \sqrt{2}$ C、若点 $P$ 与点 $A ， B$ 不共线，则 $△ P A B$ 面积的最大值为 $4 \sqrt{6}$ D、若点 $P$ 与点 $A ， B$ 不共线， $△ P A B$ 的周长的取值范围是 $（ 8 ， 16 + 8 \sqrt{2} ）$

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12. 已知函数 $f （ x ）$ 的定义域 $D = {x \in R | x \neq 0}$ ，若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in D ， f （ x_{1} x_{2} ） = \frac{f （ x_{1} ）}{x_{2}^{3}} + \frac{f （ x_{2} ）}{x_{1}^{3}} + \frac{1}{x_{1}^{3} x_{2}^{3}}$ ，则（）

A、 $f （ 1 ） = 1$ B、 $f （ x ）$ 是奇函数 C、若 $x > 1$ 时恒有 $f （ x ） > - \frac{1}{x^{3}}$ ，则 $y = x^{3} f （ x ）$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减 D、若 $f （ 2 ） = \frac{1}{8}$ ，则 $2^{3} f （ 2 ） + 4^{3} f （ 2^{2} ） + 8^{3} f （ 2^{3} ） + ⋯ + 2^{3 n} f （ 2^{n} ） = n^{2}$

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三、填空题

13. ${(\frac{2 y^{3}}{x^{2}} - x)}^{6}$ 的展开式中 $y^{6}$ 项的系数为.

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14. 功能性饮料是指通过调整饮料中天然营养素的成分和含量比例，以适应某些特殊人群营养需要的饮品 $.$ 数据显示，从 $2014$ 年开始，中国功能性饮料市场年均复合增长率均不低于 $10 % .$ 某同学若根据 $2014 \sim 2021$ 年 $（$ 年份代码 $x$ 分别为 $1 \sim 8 ）$ 中国功能性饮料年市场规模 $y$ （单位：百亿元）求得回归方程为 $\hat{y} = 1.2 x + 4.5$ ，则 $2022$ 年预测规模与 $2014 \sim 2021$ 年平均规模的差为百亿元.

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15. 已知点 $P (t ， \frac{\sqrt{3}}{3} t)$ 在双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > 0 ， b > 0 ）$ 上， $F_{1} ， F_{2}$ 是 $C$ 的左，右焦点， $O$ 为坐标原点，若 $| O P | = \frac{\sqrt{3}}{3} | F_{1} F_{2} |$ ，则 $C$ 的离心率 $e =$ .

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16. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形，侧面 $P A B$ 是等边三角形， $P C = P D = \sqrt{2}$ ，则平面 $P A B$ 与平面 $A B C D$ 的夹角为 $；$ 若该四棱锥的所有顶点都在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的表面积为.

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四、解答题

17. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a s i n A + c s i n C = b$ .

(1)、求证： $s i n B + \frac{2 a c}{a^{2} + c^{2}} c o s B = 1 ；$

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = k b^{2} （ k > 0 ）$ ，求 $k$ 的最大值，并证明：当 $k$ 取最大值时， $△ A B C$ 为直角三角形.

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18. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $.$ 已知 $a_{3} = 4 a_{1} ， \frac{S_{n}}{a_{n} + 2} = \frac{n}{2}$ .

(1)、求 $a_{1} ， a_{2}$ ，并证明 ${a_{n}}$ 是等差数列 $；$

(2)、从下面 $2$ 个条件中选 $1$ 个作为本小题的条件，证明： $b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n} > n - \frac{1}{2}$ .① $b_{n} = \frac{9 n^{2}}{(a_{n} - \frac{1}{2}) (a_{n + 1} - \frac{1}{2})} ；$ ② $b_{n} = \frac{9 n^{2} + 12 n + 1}{a_{n + 1}^{2}}$ .

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19. 近年来中国咖啡文化盛行，咖啡作为一种船来品，在国内成了一种时尚，越来越多的企业开始扎堆咖啡赛道，今年以来先有中国邮政首家邮政咖啡在厦门落地，再有李宁跨界推出“宁咖啡”.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} > k)$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$k$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

(1)、A传媒公司拟从 $5$ 家老咖啡企业和 $3$ 家今年新注册的咖啡企业中随机选 $3$ 家进行访谈，记选到的今年新注册的咖啡企业数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望 $；$

(2)、为了解一、二线城市青年群体与三、四线城市青年群体消费咖啡情况，A传媒公司通过本公司媒体进行调查，在参与调查的一、二线城市青年群体与三、四线城市青年群体中各取 $100$ 人，得到如下 $2 \times 2$ 列联表的部分数据.

一、二线城市青年
三、四线城市青年
合计
是咖啡消费者
$58$
不是咖啡消费者
$70$
合计
$200$
将 $2 \times 2$ 列联表补充完整，并判断是否有 $99.9 %$ 的把握认为一、二线城市青年与三、四线城市青年消费咖啡的意愿有差别 $\cdot$

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20. 在如图所示的几何体中， $H ， O$ 分别为 $B E ， A B$ 的中点， $M$ 为棱 $D E$ 上一点，几何体 $A B C - M E F$ 与几何体 $A B C - D M G$ 都是棱长均为 $2$ 的三棱柱， $C M = \sqrt{6}$ .

(1)、求证：平面 $O C H ⊥$ 平面 $A C G D ；$

(2)、求平面 $O C H$ 与平面 $A C F M$ 夹角的正弦值.

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21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y （ p > 0 ）$ ，过点 $P （ 0 ， 2 ）$ 的动直线与 $C$ 交于点 $A ， B$ ，且 $\frac{1}{| P A |^{2}} + \frac{1}{| P B |^{2}}$ 为定值.

(1)、求 $C$ 的方程 $；$

(2)、若抛物线 $C$ 在点 $A ， B$ 处的切线交于点 $Q$ ，求证：
①点 $Q$ 在定直线上 $；$
②若 $F$ 为 $C$ 的焦点，则 $| F A | \cdot | F B | = | F Q |^{2}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = l n \frac{2 x}{a} + (a - \frac{2}{a}) x - x^{2}$ .

(1)、若 $a < 0$ ，讨论 $f （ x ）$ 的单调性 $；$

(2)、若 $\forall x \in (0 ， + \infty) ， f (x) < a x e^{x} + (a - \frac{2}{a} - 1) x - x^{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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$P (K^{2} > k)$	$0.1$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$k$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

	一、二线城市青年	三、四线城市青年	合计
是咖啡消费者	$58$
不是咖啡消费者		$70$
合计			$200$