安徽省安庆市大联考2022-2023学年高三上学期理数阶段性测试试卷（三）

试卷更新日期：2022-12-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 1 \leq 0} ， B = {x | | x | > x}$ ，则 $A ∪ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(- ∞ ， 0)$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $[- 1 ， 0]$ D、 $[- 1 ， + \infty)$

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2. 已知条件 $p ： α \neq \frac{π}{4}$ ，条件 $q ： t a n α \neq 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 若 $t a n (α - \frac{π}{3}) = - \sqrt{3}$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 ， \vec{b} = (3 ， 1) ， (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = 2 | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则 $| \vec{a} | =$ （）

A、5 B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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5. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \\ x - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最大值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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6. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F ， A (m ， 4 \sqrt{2}) (m > \frac{p}{2})$ 为该抛物线上一点，且 $c o s ∠ A F O = - \frac{1}{3}$ （点 $O$ 为坐标原点），则 $p =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、8

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7. 海上渔业生产发展迅猛，我国自主研发的大型海洋养殖船纷纷下海.网箱养殖人工创造适合鱼类生长的环境，一段时间内，研究人员发现网箱内氧的含量 $H$ （单位： $m g / L)$ 与时间 $t$ （单位： $h)$ 之间的关系为 $H (t) = H_{0} e^{- m t} (H_{0}$ 为网箱内氧的初始含量且 $H_{0} > 0$ ），且经过 $20 h$ 后，网箱内氧的含量减少 $\frac{61}{125} H_{0}$ .若当网箱内氧的含量低于初始含量的 $\frac{2}{5}$ 时需要人工增氧，则大约经过（） $h$ 后需要人工增氧.
参考数据： $l g 2 \approx 0.3$ .

A、39 B、33 C、31 D、27

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8. 已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F ， G$ 分别是棱 $D_{1} C_{1} ， A B ， B C$ 的中点， $H$ 是棱 $C D$ 上一点，则下列命题中正确的个数为（）
①异面直线 $D_{1} H$ 与 $A B$ 之间的距离为定值；
②平面 $E F G$ $/ /$ 平面 $A D_{1} H$ ；
③设平面 $A_{1} A H \cap$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} = l$ ，则 $A H / / l$ ；
④直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成的角为 $3 0^{∘}$ .

A、4 B、3 C、2 D、1

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 1}{x (2^{x} - 1)}$ ，则 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 0) \cup (0 ， 1]$ 上的值域为（）

A、 $(- ∞ ， - \frac{5}{6}] \cup [3 ， + ∞)$ B、 $(0 ， \frac{5}{6}]$ C、 $[- \frac{5}{6} ， 0) \cup (0 ， 3]$ D、 $[\frac{5}{6} ， + \infty)$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + \sqrt{3} c o s 2 x$ 的图象按向量 $\vec{a} = (- m ， 0)$ 平移后对应的函数为 $g (x)$ ，若 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上单调，则 $| m |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ ，右焦点为 $F$ ，直线 $l_{1} ， l_{2}$ 均过点 $F$ 且互相垂直， $l_{1}$ 与双曲线的右支交于 $A ， C$ 两点， $l_{2}$ 与双曲线的左支交于 $B$ 点， $O$ 为坐标原点，当 $A ， O ， B$ 三点共线时， $\frac{| F C |}{| A F |} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12. 已知 $a = e^{- \frac{1}{2}} s i n \frac{1}{2} ， b = \frac{1}{2} e^{- \frac{1}{6}} ， c = e^{- \frac{π}{4}} s i n \frac{π}{4}$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{A B} = (2 ， 1)$ ， $\vec{A C} = (a ， 4)$ ， $\vec{A D} = (a - 1 ， 7)$ . 若 $\vec{B C} / / \vec{A D}$ ，则实数 $a =$ .

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14. 已知圆 $B$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ ， $P$ 是圆 $B$ 上一动点，点 $A (2 ， 0)$ ， $M$ 为线段 $P A$ 的中点，则 $| B M |$ 的最小值为.

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15. 如图，有一半径为1的球形灯泡，要为其做一个上窄下宽的圆台形灯罩，要求灯罩对应的圆台的轴截面为球形灯泡对应的大圆的外切等腰梯形，则灯罩的表面积（不含下底面）至少为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $n a_{n + 1} - (n + 1) a_{n} = 2$ ，若使不等式 $S_{n} ⩽ 20$ 成立的最大整数为10，则 $a_{1}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $2 b c o s (\frac{π}{2} - A) - \sqrt{3} a s i n (\frac{π}{2} + B) = a s i n B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、设点 $D$ 是边 $A C$ 的中点，若 $a + c = 6$ ，求 $B D$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = k e^{x} + x^{2} (k \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 的图象在点 $(l n 2 ， f (l n 2))$ 处的切线斜率为 $l n \frac{3}{2}$ ，求 $k$ 的值；

(2)、当 $k < 0$ 时，判断 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 内有几个零点，并证明.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， S_{2} = - \frac{63}{16}$ ，且 $S_{n + 1} - a_{1} = \frac{3}{4} S_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{b_{n}}{a_{n}} = \frac{4 - n}{3} (n \in N^{*})$ ，记 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $λ b_{n} + T_{n} ⩽ 0$ 对任意 $n ⩾ 4$ 恒成立，求实数 $λ$ 的最大值.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D C / /$ 平面 $P A B$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $P C = B C = 10$ ， $P D = A D = 8$ ， $A B = 12$ ，动点 $F$ 在棱 $A B$ 上运动.

(1)、求证： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、当 $C F ⊥ B D$ 时，求二面角 $F - P C - D$ 的余弦值.

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，焦距为2，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程.

(2)、已知点 $G$ 的坐标为 $(4 ， 0)$ ，是否存在直线 $l ： x = t (| t | < a)$ ，使得对于 $l$ 上任意一点 $P$ （ $P$ 不在椭圆 $E$ 上），若直线 $P A_{1}$ 交椭圆 $E$ 于另一点 $M$ ，直线 $P A_{2}$ 交椭圆 $E$ 于另一点 $N$ ，恒有 $M ， N ， G$ 三点共线？若存在，求出 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + \frac{l n x}{x} ， a \in R$ .

(1)、若 $x = e$ 时， $f (x)$ 取得极值，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $g (x) = x f (x) + x ， x \in [1 ， + ∞)$ ，求使 $g (x) < 2$ 恒成立的实数 $a$ 的取值范围.

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