2012年高考理数真题试卷（陕西卷）

试卷更新日期：2016-09-26 类型：高考真卷

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一、选择题

1. 集合M={x|lgx＞0}，N={x|x²≤4}，则M∩N=（）

A、（0，2] B、（0，2） C、（1，2] D、（1，2）

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2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）

A、y=x+1 B、y=﹣x² C、y= $\frac{1}{x}$ D、y=x|x|

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3. 设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数 $a + \frac{b}{i}$ 为纯虚数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知圆C：x²+y²﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）

A、l与C相交 B、l与C相切 C、l与C相离 D、以上三个选项均有可能

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5.
如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁ ， CA=CC₁=2CB，则直线BC₁与直线AB₁夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6.
从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 $\bar{x_{甲}}$ ， $\bar{x_{乙}}$ ，中位数分别为m_甲， m_乙，则（）

A、 $\bar{x_{甲}} < \bar{x_{乙}}$ ， m_甲＞m_乙 B、 $\bar{x_{甲}} < \bar{x_{乙}}$ ， m_甲＜m_乙 C、 $\bar{x_{甲}} > \bar{x_{乙}}$ ， m_甲＞m_乙 D、 $\bar{x_{甲}} > \bar{x_{乙}}$ ， m_甲＜m_乙

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7. 设函数f（x）=xe^x ，则（）

A、x=1为f（x）的极大值点 B、x=1为f（x）的极小值点 C、x=﹣1为f（x）的极大值点 D、x=﹣1为f（x）的极小值点

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8. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）

A、10种 B、15种 C、20种 D、30种

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9. 在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a²+b²=2c² ，则cosC的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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10.
如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）

A、 $P = \frac{N}{1000}$ B、 $P = \frac{4 N}{1000}$ C、 $P = \frac{M}{1000}$ D、 $P = \frac{4 M}{1000}$

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二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上

11. 观察下列不等式：
$1 + \frac{1}{2^{2}} < \frac{3}{2}$ ，
$1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} < \frac{5}{3}$ ，
$1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} < \frac{7}{4}$
…
照此规律，第五个不等式为．

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12. （a+x）⁵展开式中x²的系数为10，则实数a的值为．

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13. 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} \ln x ， x > 0 \\ - 2 x - 1 ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为．

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15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．
B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB= ．
C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．

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三、解答题

16. 函数 $f (x) = A \sin (ω x - \frac{π}{6}) + 1$ （A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，

(1)、求函数f（x）的解析式；

(2)、设 $a \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $f (\frac{a}{2}) = 2$ ，求α的值．

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17. 设{a_n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S_n ，且a₅ ， a₃ ， a₄成等差数列．

(1)、求数列{a_n}的公比；

(2)、证明：对任意k∈N₊ ， S_k+2 ， S_k ， S_k+1成等差数列．

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18. 如图

(1)、证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．

(2)、写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

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19. 已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{4}$ +y²=1，椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率．

(1)、求椭圆C₂的方程；

(2)、设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C₁和C₂上， $\vec{O B}$ =2 $\vec{O A}$ ，求直线AB的方程．

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20. 某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：
办理业务所需的时间（分）
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时．

(1)、估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；

(2)、X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

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21. 设函数f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N₊ ， b，c∈R）

(1)、设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：f_n（x）在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内存在唯一的零点；

(2)、设n=2，若对任意x₁ ， x₂∈[﹣1，1]，有|f₂（x₁）﹣f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围；

(3)、在（1）的条件下，设x_n是f_n（x）在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内的零点，判断数列x₂ ， x₃ ， …，x_n $^{...}$ 的增减性．

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办理业务所需的时间（分）	1	2	3	4	5
频率	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1