2022~2023学年中考数学一轮复习专题18相似综合（压轴）

试卷更新日期：2022-12-14 类型：一轮复习

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一、三角形相关

1. 如图，四边形 $A B D C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A D ⊥ B D$ 于点D.若 $B D = 2$ ， $C D = 4 \sqrt{2}$ ，则线段 $A B$ 的长为.

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2. 如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $\sqrt{15}$ C、4 D、 $\sqrt{17}$

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3. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $\cos B = \frac{1}{4}$ ，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使 $∠ A D E = ∠ B$ ，连结CE，则 $\frac{C E}{A D}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ D、2

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4. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．

(1)、∠EDC的度数为；

(2)、连接PG，求△APG 的面积的最大值；

(3)、PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；

(4)、求 $\frac{C H}{C E}$ 的最大值．

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5. 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝ $2 \sqrt{10}$ ， CD＝2，则△ABE的面积为．

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6. 已知：点C，D均在直线l的上方， $A C$ 与 $B D$ 都是直线l的垂线段，且 $B D$ 在 $A C$ 的右侧， $B D = 2 A C$ ， $A D$ 与 $B C$ 相交于点O.

(1)、如图1，若连接 $C D$ ，则 $△ B C D$ 的形状为， $\frac{A O}{A D}$ 的值为；

(2)、若将 $B D$ 沿直线l平移，并以 $A D$ 为一边在直线l的上方作等边 $△ A D E$ .
①如图2，当 $A E$ 与 $A C$ 重合时，连接 $O E$ ，若 $A C = \frac{3}{2}$ ，求 $O E$ 的长；
②如图3，当 $∠ A C B = 60 °$ 时，连接 $E C$ 并延长交直线l于点F，连接 $O F$ .求证： $O F ⊥ A B$ .

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7.

(1)、【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

(2)、【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出 $\frac{B D}{C E}$ 的值．

(3)、【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 $\frac{A B}{B C}$ ＝ $\frac{A D}{D E}$ ＝ $\frac{3}{4}$ ．连接BD，CE．
①求 $\frac{B D}{C E}$ 的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

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8. 如图，等边 $Δ A B C$ 的边长为3，点D在边 $A C$ 上， $A D = \frac{1}{2}$ ，线段 $P Q$ 在边 $B A$ 上运动， $P Q = \frac{1}{2}$ ，有下列结论：

① $C P$ 与 $Q D$ 可能相等；② $Δ A Q D$ 与 $Δ B C P$ 可能相似；③四边形 $P C D Q$ 面积的最大值为 $\frac{31 \sqrt{3}}{16}$ ；④四边形 $P C D Q$ 周长的最小值为 $3 + \frac{\sqrt{37}}{2}$ .其中，正确结论的序号为（）

A、①④ B、②④ C、①③ D、②③

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9. 如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E ．使得 $∠ C D E = 15^{°}$ ，连接BE并延长BE到F ，使 $C F = C B$ ，BF与CD相交于点H ，若 $A B = 1$ ，有下列结论：① $B E = D E$ ；② $C E + D E = E F$ ；③ $S_{Δ D E C} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{12}$ ；④ $\frac{D H}{H C} = 2 \sqrt{3} - 1$ ．则其中正确的结论有（）

A、①②③ B、①②③④ C、①②④ D、①③④

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二、矩形相关

10. 矩形ABCD中，

\frac{A B}{B C}

＝

\frac{k}{2}

（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．

(1)、【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；

小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．

证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．

∵k＝2，

∴AB＝BC．

∵∠B＝90°，BH＝BE，

∴∠1＝∠2＝45°，

∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．

∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，

∴∠3＝ $\frac{1}{2}$ ∠DCG＝45°．

∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．

∴……

（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）

(2)、【类比探究】如图（2），当k≠2时，求

\frac{A E}{E F}

的值（用含k的式子表示）；

(3)、【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，

P F = \sqrt{5}

，求BC的长．

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11. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， A D = 3$ ，点E在折线 $B C D$ 上运动，将 $A E$ 绕点A顺时针旋转得到 $A F$ ，旋转角等于 $∠ B A C$ ，连接 $C F$ ．

(1)、当点E在 $B C$ 上时，作 $F M ⊥ A C$ ，垂足为M，求证 $A M = A B$ ；

(2)、当 $A E = 3 \sqrt{2}$ 时，求 $C F$ 的长；

(3)、连接 $D F$ ，点E从点B运动到点D的过程中，试探究 $D F$ 的最小值．

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12. 如图1，在矩形ABCD中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ .点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作 $E F ⊥ C E$ ，交AB于点F.

(1)、求证： $△ A E F ∽ △ D C E$ ；

(2)、如图2，连接CF，过点B作 $B G ⊥ C F$ ，垂足为G，连接AG.点M是线段BC的中点，连接GM.
①求 $A G + G M$ 的最小值；

②当 $A G + G M$ 取最小值时，求线段DE的长.

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13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F.

(1)、当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；

(2)、若 $\frac{E F}{B F}$ ＝2，求 $\frac{A N}{N D}$ 的值；

(3)、若MN∥BE，求 $\frac{A N}{N D}$ 的值.

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，点P为边 $A D$ 上一动点，连接 $O P$ ，以 $O P$ 为折痕，将 $△ A O P$ 折叠，点A的对应点为点E，线段 $P E$ 与 $O D$ 相交于点F.若 $△ P D F$ 为直角三角形，则 $D P$ 的长.

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别为边 $A B$ ， $A D$ 的中点， $B F$ 与 $E C$ ， $E D$ 分别交于点M ， N ．已知 $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，则 $M N$ 的长为．

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三、四边形相关

16. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的边长为2，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，点M，N分别是边 $B C 、 C D$ 上的动点， $∠ B A C = ∠ M A N = 60 °$ ，连接 $M N 、 O M$ .以下四个结论正确的是（）
① $△ A M N$ 是等边三角形；② $M N$ 的最小值是 $\sqrt{3}$ ；③当 $M N$ 最小时 $S_{△ C M N} = \frac{1}{8} S_{菱形 A B C D}$ ；④当 $O M ⊥ B C$ 时， $O A^{2} = D N \cdot A B$ .

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

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17. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．

(1)、求证： $∠ D B G = 90 °$ .

(2)、若 $B D = 6 ， D G = 2 G E$ ．
①求菱形 $A B C D$ 的面积.

②求 $\tan ∠ B D E$ 的值.

(3)、若 $B E = A B$ ，当 $∠ D A B$ 的大小发生变化时（ $0 ° < ∠ D A B < 180 °$ ），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．

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18. 如图，在边长为1的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，动点E在 $A B$ 边上（与点A、B均不重合），点F在对角线 $A C$ 上， $C E$ 与 $B F$ 相交于点G，连接 $A G ， D F$ ，若 $A F = B E$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $D F = C E$ B、 $∠ B G C = 120 °$ C、 $A F^{2} = E G \cdot E C$ D、 $A G$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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四、正方形相关

19. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E在边 $A B$ 上， $△ B E C$ 与 $△ F E C$ 关于直线 $E C$ 对称，点B的对称点F在边 $A D$ 上，G为 $C D$ 中点，连结 $B G$ 分别与 $C E ， C F$ 交于M，N两点，若 $B M = B E$ ， $M G = 1$ ，则 $B N$ 的长为， $\sin ∠ A F E$ 的值为.

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20. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点， $O E ⊥ O F$ 交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：① $A E ⊥ B F$ ；② $∠ O P A = 45 °$ ；③ $A P - B P = \sqrt{2} O P$ ；④若 $B E ： C E = 2 ： 3$ ，则 $t a n ∠ C A E = \frac{4}{7}$ ；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的 $\frac{1}{4}$ ．其中正确的结论是（）

A、①②④⑤ B、①②③⑤ C、①②③④ D、①③④⑤

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21.

(1)、【探究发现】如图①所示，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ B E F$ 处，延长 $E F$ 交 $C D$ 边于 $G$ 点．求证： $△ B F G ≌ △ B C G$

(2)、【类比迁移】如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，且 $A D = 8 ， A B = 6 ，$ 将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ B E F$ 处，延长 $E F$ 交 $B C$ 边于点 $G ，$ 延长 $B F$ 交 $C D$ 边于点 $H ，$ 且 $F H = C H ，$ 求 $A E$ 的长．

(3)、【拓展应用】如图③，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 边上的三等分点， $∠ D = 60 ° ，$ 将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 翻折得到 $△ A F E$ ，直线 $E F$ 交 $B C$ 于点 $P ，$ 求 $C P$ 的长．

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五、折叠相关

22. 如图，把某矩形纸片 $A B C D$ 沿 $E F$ ， $G H$ 折叠（点E、H在 $A D$ 边上，点F，G在 $B C$ 边上），使点B和点C落在 $A D$ 边上同一点P处，A点的对称点为 $A^{'}$ 、D点的对称点为 $D^{'}$ ，若 $∠ F P G = 90 °$ ， $△ A^{'} E P$ 为8， $△ D^{'} P H$ 的面积为2，则矩形 $A B C D$ 的长为（）

A、 $6 \sqrt{5} + 10$ B、 $6 \sqrt{10} + 5 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{5} + 10$ D、 $3 \sqrt{10} + 5 \sqrt{2}$

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23. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿着 $G E$ 、 $E C$ 、 $G F$ 翻折，使得点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 恰好都落在点 $O$ 处，且点 $G$ 、 $O$ 、 $C$ 在同一条直线上，同时点 $E$ 、 $O$ 、 $F$ 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
① $G F ∥ E C$ ；② $A B = \frac{4 \sqrt{3}}{5} A D$ ；③ $G E = \sqrt{6} D F$ ；④ $O C = 2 \sqrt{2} O F$ ；⑤ $△ C O F ∽ △ C E G$ .

其中正确的是（）

A、①②③ B、①③④ C、①④⑤ D、②③④

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24. 如图，在菱形 ABCD中，∠A=60° ，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M 处，折痕分别与边 AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．

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25. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）

A、2 B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、3

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