2022~2023学年中考数学一轮复习专题17圆中角度长度计算问题

试卷更新日期：2022-12-14 类型：一轮复习

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一、角度问题

1. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，CD是 $⊙ O$ 的直径， $∠ A C D = 40 °$ ，则 $∠ B =$ （）

A、70° B、60° C、50° D、40°

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2. 如图，A、B、C点在圆O上，若∠ACB=36°，则∠AOB= ．

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3. 已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为 $\sqrt{2}$ ，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．

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4. 如图， $A B$ 、 $A C$ 是 $⊙ O$ 的弦，过点A的切线交 $C B$ 的延长线于点 $D$ ，若 $∠ B A D = 35 °$ ，则 $∠ C =$ °．

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5. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（）

A、28° B、30° C、36° D、56°

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6. 如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（）

A、25° B、35° C、40° D、50°

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7. 如图，点A，B，C在 $⊙ O$ 上， $∠ A O B = 62 °$ ，则 $∠ A C B =$ 度.

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8. 如图，AB，CD是 $⊙ O$ 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知 $∠ P = 30 °$ ， $∠ A O C = 80 °$ ，则 $\overset{⌢}{B D}$ 的度数是（）

A、30° B、25° C、20° D、10°

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形．若 $∠ B C D = 121 °$ ，则 $∠ B O D$ 的度数为（）

A、138° B、121° C、118° D、112°

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10. 如图，⊙ $O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A C$ 是⊙ $O$ 的直径，点P在⊙ $O$ 上，若 $∠ A C B = 40 °$ ，则 $∠ B P C$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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11. 如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 .

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12. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在格点上，以 $A B$ 为直径的圆经过点 $C$ ， $D$ ，则 $c o s ∠ A D C$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ B、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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二、长度问题

13. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{B D}$ ， $∠ C D B = 30 °$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $O E =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、2

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14. 如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝ $\frac{1}{3}$ ，则AD的长是．

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15. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形.若 $∠ A B C = 45 °$ ， $A C = \sqrt{2}$ ，则 $⊙ O$ 的半径是.

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三、切线长问题

16. 四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，直径 $A C$ 与弦 $B D$ 交于点 $E$ ，直线 $P B$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ．

(1)、如图1，若 $∠ P B A = 30 °$ ，且 $E O = E A$ ，求证： $B A$ 平分 $∠ P B D$ ；

(2)、如图2，连接 $O B$ ，若 $∠ D B A = 2 ∠ P B A$ ，求证： $△ O A B ∽ △ C D E$ ．

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17. 如图，已知BC为⊙O的直径，点D为 $\overset{⌢}{C E}$ 的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．

(1)、求证：AD是⊙O的切线；

(2)、若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．

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18. 如图，以线段 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交射线 $A C$ 于点 $C$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作直线 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ．连接 $B D$ 并延长交 $A C$ 于点 $M$ ．

(1)、求证：直线 $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $A B = A M$ ；

(3)、若 $M E = 1$ ， $∠ F = 30 °$ ，求 $B F$ 的长．

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19. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．

(1)、求证：BC是⊙O的切线．

(2)、若CF＝2，sinC＝ $\frac{3}{5}$ ，求AE的长．

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20. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，AB是直径， $O D ⊥ O C$ ，连接AD， $∠ A D O = ∠ B O C$ ，AC与OD相交于点E．

(1)、求证：AD是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\tan ∠ O A C = \frac{1}{2}$ ， $A D = \frac{3}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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21. 如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $E$ 是 $⊙ O$ 上异于 $A$ ， $B$ 的点，点 $F$ 是 $\overset{�}{EB}$ 的中点，连接 $AE$ ， $AF$ ， $BF$ ，过点 $F$ 作 $FC ⊥ AE$ 交 $AE$ 的延长线于点 $C$ ，交 $AB$ 的延长线于点 $D$ ， $∠ ADC$ 的平分线 $DG$ 交 $AF$ 于点 $G$ ，交 $FB$ 于点 $H$ ．

(1)、求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求 $sin ∠ FHG$ 的值；

(3)、若 $GH = 4 \sqrt{2}$ ， $HB = 2$ ，求 $⊙ O$ 的直径．

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22. 如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D.且∠PCA＝∠CBD.

(1)、求证：PC为⊙O的切线；

(2)、若PC＝ $2 \sqrt{2}$ BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长.

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ .以AB为直径的 $⊙ O$ 与线段BC交于点D，过点D作 $D E ⊥ A C$ ，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P.

(1)、求证：直线PE是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为6， $∠ P = 30 °$ ，求CE的长.

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四、阴影面积问题

24. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°．

(1)、求：∠CAD的度数；

(2)、若AD=6，求图中阴影部分的面积．

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25. 如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点， $∠ C A B = ∠ D B A$ ，连结BC，CD．

(1)、求证： $C D ∥ A B$ ．

(2)、若 $A B = 4$ ， $∠ A C D = 30 °$ ，求阴影部分的面积．

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26. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B D$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 平分 $∠ B A D ， C D = 2 \sqrt{2}$ ，点E在 $B C$ 的延长线上，连接 $D E$ ．

(1)、求直径 $B D$ 的长；

(2)、若 $B E = 5 \sqrt{2}$ ，计算图中阴影部分的面积．

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27. 如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．

(1)、求证：∠ACO＝∠BCP；

(2)、若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；

(3)、在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

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28. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE $∥$ BC，交AC的延长线于点E．

(1)、求证：DE是⊙O的切线；

(2)、若 $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B D}$ ， CG＝2 $\sqrt{3}$ ，求阴影部分的面积．

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29. 如图，在 $R t △ A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ，以 $O$ 为圆心， $O B$ 的长为半径的圆交边 $A B$ 于点 $D$ ，点 $C$ 在边 $O A$ 上且 $C D = A C$ ，延长 $C D$ 交 $O B$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $C D$ 是圆的切线；

(2)、已知 $s i n ∠ O C D = \frac{4}{5}$ ， $A B = 4 \sqrt{5}$ ，求 $A C$ 长度及阴影部分面积．

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五、圆相关尺规作图

30. 证明：垂直于弦 $A B$ 的直径 $C D$ 平分弦以及弦所对的两条弧．

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31. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．

(1)、请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．

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32. 如图， $△ A B C$ 的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接 $E F ， D E ， D F$ ．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交 $A B ， B C$ 于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于 $\frac{1}{2} G H$ 的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线 $B P$ ．下列说法正确的是（）

A、射线 $B P$ 一定过点O B、点O是 $△ D E F$ 三条中线的交点 C、若 $△ A B C$ 是等边三角形，则 $D E = \frac{1}{2} B C$ D、点O不是 $△ D E F$ 三条边的垂直平分线的交点

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33. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（）

A、I到AB，AC边的距离相等 B、CI平分∠ACB C、I是△ABC的内心 D、I到A，B，C三点的距离相等

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34. 操作探究题

(1)、已知 $A C$ 是半圆 $O$ 的直径， $∠ A O B = (\frac{180}{n}) °$ （ $n$ 是正整数，且 $n$ 不是3的倍数）是半圆 $O$ 的一个圆心角．
操作：如图1，分别将半圆 $O$ 的圆心角 $∠ A O B = (\frac{180}{n}) °$ （ $n$ 取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

交流：当 $n = 11$ 时，可以仅用圆规将半圆 $O$ 的圆心角 $∠ A O B = (\frac{180}{n}) °$ 所对的弧三等分吗？

探究：你认为当 $n$ 满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆 $O$ 的圆心角 $∠ A O B = (\frac{180}{n}) °$ 所对的弧三等分？说说你的理由．

(2)、如图2， $⊙ o$ 的圆周角 $∠ P M Q = (\frac{270}{7}) °$ ．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧 $\overset{⌢}{C D}$ （要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

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六、正多边形与圆

35. 如图，已知 $⊙ O$ 的半径为1，则它的内接正方形 $A B C D$ 的边长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、1 D、 $2 \sqrt{2}$

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36. 如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（　　）

A、3 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、3

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37. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长 $l_{6} = 6 R$ ，则 $π \approx \frac{l_{6}}{2 R} = 3$ ．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（）

A、 $12 s i n 15 °$ B、 $12 c o s 15 °$ C、 $12 s i n 30 °$ D、 $12 c o s 30 °$

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38. 如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.

(1)、角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为 $m °$ ，将正n边形的“接近度”定义为 $| 180 - m |$ .于是 $| 180 - m |$ 越小，该正n边形就越接近于圆，
①若 $n = 3$ ，则该正n边形的“接近度”等于.
②若 $n = 20$ ，则该正n边形的“接近度”等于.
③当“接近度”等于.时，正n边形就成了圆.

(2)、边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为 $| \frac{d}{R} - 1 |$ .分别计算 $n = 3 ， n = 6$ 时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？

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