（苏科版）2022-2023学年九年级数学下册7.6 用锐角三角函数解决问题同步测试

试卷更新日期：2022-12-14 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= $\sqrt{5}$ ，点D是AC上一点，连接BD．若tanA= $\frac{1}{2}$ ， tan∠ABD= $\frac{1}{3}$ ，则CD的长为（）

A、2 $\sqrt{5}$ B、3 C、2 D、 $\sqrt{5}$

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2. 上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离（）

A、 $20 \sqrt{2}$ 海里 B、 $20 \sqrt{3}$ 海里 C、40海里 D、 $40 \sqrt{2}$ 海里

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3. 如图，某校教学楼 $A B$ 与 $C D$ 的水平间距 $B D = a m$ ，在教学楼 $C D$ 的顶部 $C$ 点测得教学楼 $A B$ 的顶部 $A$ 点的仰角为 $α$ ，测得教学楼 $A B$ 的底部 $B$ 点的俯角为 $β$ ，则教学楼 $A B$ 的高度是（）

A、 $(a t a n α + a t a n β) m$ B、 $(\frac{a}{t a n α} + \frac{a}{t a n β}) m$ C、 $(a s i n α + a s i n β) m$ D、 $(a c o s α + a c o s β) m$

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4. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1∶ $\sqrt{3}$ ，则AC的长是（）

A、6 $\sqrt{2}$ 米 B、12米 C、3 $\sqrt{3}$ 米 D、6 $\sqrt{3}$ 米

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5. 如图，河坝横断面迎水坡 $A B$ 的坡比为 $1$ ： $\sqrt{3}$ ，坝高 $B C = 3$ m，则 $A B$ 的长度为（）

A、6m B、 $3 \sqrt{3}$ m C、9m D、 $6 \sqrt{3}$ m

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6. 如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（）

A、75m B、50m C、30m D、12m

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7. 如图，一艘海轮位于灯塔 $P$ 的北偏东55°方向的 $A$ 处，已知 $P A = 6$ 海里，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离 $A B$ 的长是（）

A、6海里 B、 $6 c o s 55 °$ 海里 C、 $6 s i n 55 °$ 海里 D、 $6 t a n 55 °$ 海里

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8. 某简易房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AC的长为（）

A、 $\frac{5}{11 s i n α}$ 米 B、 $\frac{5}{11 c o s α}$ 米 C、 $\frac{11}{5 s i n α}$ 米 D、 $\frac{11}{5 c o s α}$ 米

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9. 如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（）

A、 $3000 \sqrt{3}$ m B、 $3000 (\sqrt{3} + 1)$ m C、 $3000 (\sqrt{3} - 1)$ m D、 $1500 \sqrt{3}$ m

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10. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树 $C D$ 的高度，在点A处测得树顶C的仰角为 $45 °$ ，在点B处测得树顶C的仰角为 $60 °$ ，且A，B，D三点在同一直线上，若 $A B = 16 m$ ，则这棵树 $C D$ 的高度是（）

A、 $8 (3 - \sqrt{3}) m$ B、 $8 (3 + \sqrt{3}) m$ C、 $6 (3 - \sqrt{3}) m$ D、 $6 (3 + \sqrt{3}) m$

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二、填空题

11. 如图是一种机器零件的示意图，其中 $C E = 1$ 米， $B F = \sqrt{3}$ 米，则四边形 $A B E C$ 的面积为米²

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12. 小丽想测量学校旗杆的高度，她在地面A点安置测倾器，测得旗杆顶端C的仰角为30°，测倾器到旗杆底部的距离 $A D$ 为12米，测倾器的高度 $A B$ 为1.6米，那么旗杆的高度 $C D$ 为米（结果保留根号）．

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13. 如图，A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，且距离教学楼60米，小明同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B处，此时小明同学一共走的距离为米．

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14. 一艘轮船位于灯塔 $P$ 的南偏东 $60 °$ 方向，距离灯塔30海里的 $A$ 处，它沿北偏东 $30 °$ 方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$ 的北偏东 $67 °$ 方向上的 $B$ 处，此时与灯塔 $P$ 的距离约为海里．（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ）

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15. 如图，河堤横断面迎水坡 $A B$ 的坡比是 $1 ： \sqrt{3}$ ，堤高 $B C = 10 m$ ，则坡面 $A B$ 的长度是m．

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三、解答题

16. 如图，AD是△ABC中BC边上的高，且∠B=30°，∠C=45°，CD=2．求BC的长．

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17. 某学校升气球庆祝党的二十大胜利召开．如图，一气球到达离地面高度为12米的 $A$ 处时，仪器显示正前方一高楼顶部 $B$ 的仰角是 $37 °$ ，底部 $C$ 的俯角是 $60 °$ ．气球要飞到楼顶，应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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18. 如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港O，“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，“长峰”号沿着南偏东30°方向匀速航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，求1小时后远洋号、长峰号两艘轮船相距多少海里．

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四、综合题

19. 如图，已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合)，且点P到BA．BC的距离为PE、PF．

(1)、若∠EBP=40°，∠FBP=20°，PB=m，试比较PE、PF的大小；

(2)、若∠EBP=α，∠FBP=β，α，β都是锐角，且α>β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．

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20. 图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其示意图，其中 $B E ∥ C D$ ， $B C ⊥ C D$ ， $E D ⊥ C D$ ， $A B ＝ C D ＝ 3.3 m$ ， $B C ＝ 1 m$ ，现由于故障， $A B$ 不能完全升起， $∠ A B E$ 最大为 $42 °$ ．

(1)、求故障时A点最高可距离地面多少m（精确到0.1m）．

(2)、若一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？
（参考数据： $s i n 42 ° \approx 0.67$ ， $c o s 42 ° \approx 0.74$ ， $t a n 42 ° \approx 0.90$ ）

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21. 九年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了220米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向走了200米，到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了200米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处．

(1)、求从手工坊D处回到门口A处的距离．

(2)、求从手工坊D处回到门口A处的方位角．[参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ]

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22. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

(1)、求∠ABC的度数；

(2)、测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）

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23. 如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔 $B C$ ，数学兴趣小组的同学在斜坡底 $P$ 处测得该塔的塔顶 $B$ 的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡 $A P$ 攀行了26米到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶 $B$ 的仰角为76°．求：

(1)、坡顶A到地面 $P O$ 的距离；

(2)、网络信号塔 $B C$ 的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据： $s i n 76 ° \approx 0.97$ ， $c o s 76 ° \approx 0.24$ ， $t a n 76 ° \approx 4.01$ ）

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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