2022~2023学年中考数学一轮复习专题16最值问题

试卷更新日期：2022-12-14 类型：一轮复习

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一、轴对称最值问题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 、 $C E$ 是 $△ A B C$ 的两条中线， $C E = 5 ， A D = 7$ ， P是 $A D$ 上一个动点，则 $B P + E P$ 的最小值是（）

A、7 B、3.5 C、5 D、2.5

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2. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线交于点O，点E是直线 $B C$ 上一动点．若 $A B = 4$ ，则 $A E + O E$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{5} + 2$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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3. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 8 ， B C = 6$ ，E，F分别是AD，AB的中点， $∠ A D C$ 的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则 $△ P E F$ 的周长最小值为.

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4. 如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE最小值是（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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5. 如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（）

A、4 B、4.5 C、5.5 D、5

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6. 如图，有一张平行四边形纸片 $A B C D$ ， $A B = 5$ ， $A D = 7$ ，将这张纸片折叠，使得点 $B$ 落在边 $A D$ 上，点 $B$ 的对应点为点 $B^{'}$ ，折痕为 $E F$ ，若点 $E$ 在边 $A B$ 上，则 $D B^{'}$ 长的最小值等于．

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7. 如图，等边 $△ A B C$ 中， $A B = 10$ ，点E为高 $A D$ 上的一动点，以 $B E$ 为边作等边 $△ B E F$ ，连接 $D F$ ， $C F$ ，则 $∠ B C F =$ ， $F B + F D$ 的最小值为．

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8. 如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、1.5 D、 $\sqrt{5}$

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9. 如图，一次函数 $y = x + 4$ 的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点 $C (- 2 ， 0)$ 是x轴上一点，点E，F分别为直线 $y = x + 4$ 和y轴上的两个动点，当 $△ C E F$ 周长最小时，点E，F的坐标分别为（）

A、 $E (- \frac{5}{2} ， \frac{3}{2})$ ， $F (0 ， 2)$ B、 $E (- 2 ， 2)$ ， $F (0 ， 2)$ C、 $E (- \frac{5}{2} ， \frac{3}{2})$ ， $F (0 ， \frac{2}{3})$ D、 $E (- 2 ， 2)$ ， $F (0 ， \frac{2}{3})$

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、在对称轴上找一点Q，使 $△ A C Q$ 的周长最小，求点Q的坐标；

(3)、点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当 $△ P M B$ 是以 $P B$ 为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

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二、隐含圆问题

11. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 3$ .点 $P$ 为 $Δ A B C$ 内一点，且满足 $P A^{2} + P C^{2}$ $= A C^{2}$ .当 $P B$ 的长度最小时， $Δ A C P$ 的面积是（）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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12. 如图，在△ABC中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ， BC＝3，AC＝4，点D是AC边上一动点，过点A作 $A E ⊥ B E$ 交BD的延长线于点E，则 $\frac{B D}{D E}$ 的最小值为.

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13. 如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB＋CD的最大值（）

A、4 $\sqrt{3}$ B、8 C、10 D、6 $\sqrt{3}$

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14. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A C$ 为直径，若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 3$ ，点 $P$ 从 $B$ 点出发，在 $△ A B C$ 内运动且始终保持 $∠ C B P = ∠ B A P$ ，当 $C$ ， $P$ 两点距离最小时，动点 $P$ 的运动路径长为．

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15. △ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F.如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是.

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16. 如图，正方形ABCD的边长为16，点E，F分别在线段AB，AD上，且AF＝8，AE＝6，若点P，Q分别在线段BC，CD上运动，G为线段PF上的点，在运动过程中，始终保持∠GEB＝∠GFA，则线段GQ的最小值为.

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17. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 6$ ， $A B ⊥ B D$ ， $P$ 是 $B C$ 上方一动点，且 $∠ B P C = 60 °$ ， $P C$ 交 $B D$ 于点E.当点P运动到 $P B = P C$ 时， $\frac{P E}{E C}$ 的值为；随着点P的运动， $\frac{P E}{E C}$ 的最大值为.

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18. 如图，△ABC中，AB=AC= $2 \sqrt{5}$ ，∠BAC=α°， $\tan ∠ A B C = \frac{1}{2}$ ，G为BC中点，D为平面内一个动点，且 $D G = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .将线段BD绕点D逆时针旋转α°，得到DB′，则四边形BACB′面积的最大值为（）

A、24 B、25 C、12 D、13

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19. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， ∠ACB=90°， $A C = 8$ cm， $B C = 3$ cm. $D$ 是 $B C$ 边上的一个动点，连接 $A D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A D$ 于 $E$ ，连接 $B E$ ，在点 $D$ 变化的过程中，线段 $B E$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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三、造桥选址问题

20. 如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足 $A B = \sqrt{2} M N$ ，点P是BC的中点，连接AN、PM，若 $A B = 6$ ，则当 $A N + P M$ 的值最小时，线段AN的长度为．

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21. 如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且EF⊥AC于点M，连接AF、CE，求AF+CE的最小值是．

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22. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $E$ 在边 $B C$ 上运动， $M$ 、 $N$ 在对角线 $B D$ 上运动，且 $M N = \sqrt{5}$ ，连接 $C M$ 、 $E N$ ，则 $C M + E N$ 的最小值为.

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23. 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为.

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24. 如图，定直线MN $∥$ PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC=12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°.点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE $∥$ BC $∥$ DF，AE=4，DF=8，AD=24 $\sqrt{3}$ ，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（）

A、24 $\sqrt{13}$ B、24 $\sqrt{15}$ C、12 $\sqrt{13}$ D、12 $\sqrt{15}$

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四、胡不归最值问题

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2} - 2 \sqrt{3} x$ 的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点是该抛物线对称轴上的一点，则 $O P + \frac{1}{2} A P$ 的最小值为（）

A、 $3$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{4}$

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26. 图所示，在半径为 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，点 D ，E 分别在半径 AB，AC 上，且BD＝CE＝2，点F 是弧BC 上的动点，连接DF，EF，则DF＋ $\frac{3}{2}$ EF 的最小值为.

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五、瓜豆原理最值问题

27. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 5 \sqrt{3}$ ，点P在线段 $B C$ 上运动（含B、C两点），连接 $A P$ ，以点A为中心，将线段 $A P$ 逆时针旋转60°到 $A Q$ ，连接 $D Q$ ，则线段 $D Q$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ D、3

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28. 如图，正方形ABCD的边长为4， $∠ B C M = 30 °$ ，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值等于（）

A、 $4 \sqrt{2} - 4$ B、 $2 \sqrt{2} - 2$ C、 $2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6} - \sqrt{3}$

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29. 如图， $A (2 ， 0)$ 、 $B (6 ， 0)$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ M$ ，射线 $O F$ 交 $⊙ M$ 于 $E$ 、 $F$ 两点， $C$ 为弧 $A B$ 的中点， $D$ 为 $E F$ 的中点．当射线 $O F$ 绕 $O$ 点旋转时， $C D$ 的最小值为．

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六、阿氏圆最值问题

30. 如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝4，AD＝2，点P是以AB为直径的半圆O上一点，连接PC、PD，则PC＋ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ PD的最小值为.

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31. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则 $\frac{1}{3}$ PA+PB的最小值为．

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32. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则 $\frac{1}{3}$ AP+BP的最小值为（）

A、3 $\sqrt{2}$ . B、4 $\sqrt{3}$ C、3 $\sqrt{5}$ D、5 $\sqrt{2}$

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33. 如图， $R t △ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ ， $E$ 为 $A B$ ， $A C$ 边上的两个动点，且 $D E = 6$ ， $F$ 为 $D E$ 中点，则 $\frac{1}{2} B F + C F$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、 $\sqrt{73}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5} + 10}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{265}}{2}$

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七、二次函数最值问题

34. 如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为 $(2 \sqrt{3} ， 3)$ ，则图象最低点E的坐标为（）

A、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， 2)$ B、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \sqrt{3})$ C、 $(\frac{4 \sqrt{3}}{3} ， \sqrt{3})$ D、 $(\sqrt{3} ， 2)$

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35. 如图，点E是矩形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点，沿 $A E$ 折叠，点 $B$ 恰好落在 $C D$ 边上的点 $F$ 处，设 $\frac{B E}{E C} = x (x > 1)$ ，

(1)、若点 $F$ 恰为 $C D$ 边的中点，则 $x =$ .

(2)、设 $\frac{D F}{F C} = y$ ，则y关于 $x$ 的函数表达式是.

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36. 已知实数m，n满足 $m^{2} + n^{2} = 2 + m n$ ，则 ${(2 m - 3 n)}^{2} + (m + 2 n) (m - 2 n)$ 的最大值为（）

A、24 B、 $\frac{44}{3}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、-4

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37. 如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是（）

A、4 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{5}{4} \sqrt{3}$ C、3 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{9}{4} \sqrt{3}$

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38. 如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= $\frac{3}{4}$ ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）

A、18cm² B、12cm² C、9cm² D、3cm²

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八、其它问题（费马定理，线圆最值）

39. 如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将 $△$ APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到 $△$ AEF．则AE+PB+PC的最小值为（）

A、2 $\sqrt{19}$ B、8 C、5 $\sqrt{3}$ D、6 $\sqrt{2}$

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40. 如图，已知直线y $= \frac{3}{4}$ x﹣3与x轴、y轴分别交于 A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最大值是（）

A、8 B、12 C、 $\frac{21}{2}$ D、 $\frac{17}{2}$

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