浙江省慈溪市中部教研共同体2022-2023学年九年级上学期期中质量检测数学试题

试卷更新日期：2022-12-14 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。）

1. 抛物线y=2x²的开口方向是（）

A、向下 B、向上 C、向左 D、向右

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2. “网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上的排号恰好是奇数”，这个事件是（）

A、必然事件 B、不可能事件 C、确定事件 D、随机事件

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3. 已知⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，则OP的长可能是（）

A、3cm B、4cm C、5cm D、6cm

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4. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向右平移3个单位得到的抛物线表达式是（）

A、 $y = (x - 3)^{2}$ B、 $y = (x + 3)^{2}$ C、 $y = x^{2} - 3$ D、 $y = x^{2} + 3$

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5. 如图，在半径为 $5$ 的 $⊙ O$ 中，弦 $A B = 8$ ， $P$ 是弦 $A B$ 上一动点，则 $O P$ 的最小值为（）

A、3 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、1

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6. 已知抛物线 $y = (x - 3)^{2} + c$ 经过点 $A (2 ， 0)$ ，则该抛物线与 $x$ 轴的另一个交点是（）

A、 $(3 ， 0)$ B、 $(4 ， 0)$ C、 $(- 8 ， 0)$ D、 $(- 4 ， 0)$

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7. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $△ A B' C'$ ，使 $C C' / / A B$ ，若 $∠ C A B = 70 °$ ，则旋转角的度数是（）

A、 $35 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $70 °$

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8. 如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是 $⊙ O$ 上的点， $O B / / A C$ ，连结 $B C$ 交 $O A$ 于点 $D$ ，若 $∠ A D B = 60 °$ ，则 $∠ A O B$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $45 °$ D、 $50 °$

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9. 已知二次函数 $y = a {(x - m)}^{2} (a > 0)$ 的图象经过点 $A (- 1 ， p)$ ， $B (3 ， q)$ ，且 $p < q$ ，则 $m$ 的值不可能是（）

A、-2 B、 $- \sqrt{2}$ C、0 D、 $\frac{5}{2}$

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10. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2$ 与 $x$ 轴所围成的封闭区域内 $($ 含边界 $)$ ，横、纵坐标均为整数的点有且只有7个，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $1 < a < 2$ B、 $1 \leq a < 2$ C、 $\frac{1}{2} < a < 1$ D、 $\frac{1}{2} < a \leq 1$

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二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11. 一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，抛掷一次，恰好出现“正面朝上的数字是5”的概率是。

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12. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在格点上，过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点作一圆弧，则圆心的坐标是.

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13. 如图是某同学的微信二维码，用黑白打印机打印于边长为 $2 c m$ 的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 $c m^{2}$ .

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14. 如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，若∠ABC=50°，则∠CAD=度．

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15. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高 $O D$ 为14的奖杯，杯体轴截面 $A B C$ 是抛物线 $y = \frac{4}{9} x^{2} + 5$ 的一部分，则杯口的口径 $A C$ 为.

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16. 已知顶点为 $A$ 的抛物线 $y_{1} = x^{2} + b_{1} x + c$ 与顶点为 $C$ 的抛物线 $y_{2} = - x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 交于 $B (m ， n)$ ， $D (m + 6 ， n)$ ，则四边形 $A B C D$ 的周长为.

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三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。）

17. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (- 1 ， 12)$ ， $B (2 ， - 3)$ .

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、求这个图象的顶点坐标.

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18. 一个不透明的布袋中装有若干个球，它们除颜色不同外，其余完全相同，其中有1个白球和若干个红球.

(1)、如果摸一次球，摸到白球的概率是 $\frac{1}{3}$ ，求红球的个数.

(2)、在（1）的条件下，如果从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则两个球都是红色的概率是多少？请画树状图或列表分析.

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19. 如图，由小正方形构成的 $6 \times 6$ 网格， $⊙ O$ 经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，仅用无刻度的直尺按要求画图. $($ 保留作图痕迹 $)$

(1)、在图（1）中画弦 $B C$ 的弦心距 $O D$ ；

(2)、在图（2）中的圆上找一点 $E$ ，使点 $E$ 是 $\overset{⌢}{B A C}$ 的中点.

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20. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 过点 $A (1 ， 0)$ 和点 $B (0 ， 2)$ .

(1)、求该抛物线的函数表达式.

(2)、将该抛物线上的点 $M (m ， p)$ 向右平移至点 $N (n ， q)$ ，当点 $N$ 落在该抛物线上且位于第一象限时，求 $m$ 的取值范围.

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21. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $C$ 、 $D$ 是半圆 $O$ 上的两点，且 $O D / / B C$ ， $O D$ 与 $A C$ 交于点 $E$ .

(1)、若 $∠ B = 72 °$ ，求 $∠ C A D$ 的度数；

(2)、若 $A B = 13$ ， $A C = 12$ ，求 $D E$ 的长.

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22. 在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩.经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋.

(1)、直接写出小明销售该类型口罩销售量 $y ($ 袋 $)$ 与销售单价 $x ($ 元 $)$ 之间的函数关系式；每天所得销售利润 $w ($ 元 $)$ 与销售单价 $x ($ 元 $)$ 之间的函数关系式.

(2)、若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？

(3)、求当销售单价定为多少元时，利润最大，最大利润是多少？

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23. 如图，抛物线 $C_{1}$ ： $y = - x^{2} - 4 x + c$ 与 $y$ 轴交于点 $A .$ 抛物线 $C_{2}$ ： $y = - x^{2} + 2 x + d$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于点 $C$ ，点 $C$ 的横坐标为 $- 1 .$ 过点 $C$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线 $C_{1}$ 于点 $D$ ，交抛物线 $C_{2}$ 于点 $E$ .

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的对称轴；

(2)、求线段 $D E$ 的长；

(3)、直线 $x = m$ 与抛物线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 分别交于 $P$ ， $Q$ 两点.若 $P Q = D E$ ，请直接写出 $m$ 的值.

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24. 如图1， $C$ ， $D$ 是半圆 $A C B$ 上的两点，若直径 $A B$ 上存在一点 $P$ ，满足 $∠ A P C = ∠ B P D$ ，则称 $∠ C P D$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 的“幸运角”.

(1)、如图2， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C E ⊥ A B$ ， $D$ 是 $B C$ 上一点，连结 $E D$ 交 $A B$ 于点 $P$ ，连结 $C P$ ， $∠ C P D$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 的“幸运角”吗？请说明理由；

(2)、设 $\overset{⌢}{C D}$ 的度数为 $n$ ，请用含 $n$ 的式子表示 $\overset{⌢}{C D}$ 的“幸运角”度数；

(3)、在（1）的条件下，直径 $A B = 10$ ， $\overset{⌢}{C D}$ 的“幸运角”为 $90 °$ .
①如图3，连结 $C D$ ，求弦 $C D$ 的长；
②当 $D E = 7 \sqrt{2}$ 时，求 $C E$ 的长.

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