2023年中考数学复习考点一遍过——二次根式

试卷更新日期：2022-12-12 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 使 $\sqrt{x - 2}$ 有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 化简 $\sqrt{12}$ 的结果是（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、3 C、2 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 下列正确的是（）

A、 $\sqrt{4 + 9} = 2 + 3$ B、 $\sqrt{4 \times 9} = 2 \times 3$ C、 $\sqrt{9^{4}} = \sqrt{3^{2}}$ D、 $\sqrt{4.9} = 0.7$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt[2]{- 8} = 2$ B、 $\sqrt{(- 3)^{2}} = - 3$ C、 $2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} = 5 \sqrt{5}$ D、 $(\sqrt{2} + 1)^{2} = 3$

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5. 若式子 $\sqrt{x + 1} + x^{- 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x > - 1$ B、 $x ⩾ - 1$ C、 $x ⩾ - 1$ 且 $x \neq 0$ D、 $x ⩽ - 1$ 且 $x \neq 0$

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6. 下列各式计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} = 1$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{12} \div 2 = \sqrt{6}$

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7. 下列计算正确的是（　　）

A、3²＝6 B、（﹣ $\frac{2}{5}$ ）³＝﹣ $\frac{8}{5}$ C、（﹣2a²）²＝2a⁴ D、 $\sqrt{3}$ +2 $\sqrt{3}$ ＝3 $\sqrt{3}$

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8. 下列计算错误的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{5} = a^{8}$ B、 ${(a^{2} b)}^{3} = a^{6} b^{3}$ C、 $3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} = 5 \sqrt{5}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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9. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- 1)}^{2} = - 2$ B、 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 ${(- \frac{1}{2022})}^{0} = 0$

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10. 估计 $\sqrt{3} \times (2 \sqrt{3} + \sqrt{5})$ 的值应在（）

A、10和11之间 B、9和10之间 C、8和9之间 D、7和8之间

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二、填空题（每空3分，共33分）

11. 若二次根式 $\sqrt{3 - 2 x}$ 在实数范围内有意义，那么x的取值范围是．

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12. 若 $\frac{1}{\sqrt{x - 3}}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．

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13. 使式子 $\frac{x}{\sqrt{x - 4}}$ 有意义的 $x$ 的取值范围是.

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14. 计算 $\sqrt{{(- 2)}^{2}}$ 的结果是.

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15. 计算： $\sqrt{12} - 2 \sqrt{3} =$ ．

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16. 计算 $\sqrt{3} + 3 \sqrt{\frac{1}{3}}$ 的结果是．

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17. 若（a﹣3）²+ $\sqrt{b - 5}$ =0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为.

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18. 若实数m，n满足 $∣ m - n - 5 ∣ + \sqrt{2 m + n - 4} = 0$ ，则 $3 m + n =$ .

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19. 已知m为正整数，若 $\sqrt{189 m}$ 是整数，则根据 $\sqrt{189 m} = \sqrt{3 \times 3 \times 3 \times 7 m} = 3 \sqrt{3 \times 7 m}$ 可知m有最小值 $3 \times 7 = 21$ .设n为正整数，若 $\sqrt{\frac{300}{n}}$ 是大于1的整数，则n的最小值为，最大值为.

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20. 观察下列各式：
$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1 \times 2} = 1 + (1 - \frac{1}{2})$ ，

$\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2 \times 3} = 1 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$ ，

$\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3 \times 4} = 1 + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})$ ，

……

请利用你发现的规律，计算：

$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \dots +$

$\sqrt{1 + \frac{1}{2020^{2}} + \frac{1}{2021^{2}}}$

其结果为

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三、计算题（共4题，共30分）

21. 计算：

(1)、 $\sqrt{5} - \sqrt{\frac{1}{5}} + \sqrt{20}$

(2)、 $4 \times {(\sqrt{3} + \sqrt{7})}^{0} + \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{8} - {(1 - \sqrt{2})}^{2}$

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22. 计算： $(\sqrt{27} + 2 \sqrt{\frac{1}{3}}) - \frac{4}{2 - \sqrt{3}}$

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23. 计算 $\frac{2}{b} \sqrt{a b^{2}} \div \frac{1}{3} \sqrt{\frac{b}{a}} \cdot (- \frac{3}{2} \sqrt{a^{3} b})$

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24. 计算：

(1)、 $(\sqrt{18} - \sqrt{\frac{1}{2}}) \times \sqrt{8}$ ；

(2)、 $(\sqrt{5} + 3) (\sqrt{5} - 3) - (\sqrt{3} - 1)^{2}$ ；

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四、解答题（共3题，共27分）

25. 实数a，b，c在数轴上如图所示，化简：（ $\sqrt{c}$ ）²﹣ $\sqrt{(a + b)^{2}}$ +|b﹣c|+ $\sqrt{(c - a)^{2}}$ ．

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26. 阅读材料：像（ $\sqrt{5}$ + $\sqrt{2}$ ）（ $\sqrt{5}$ ﹣ $\sqrt{2}$ ）＝3， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}$ ＝a（a≥0）、（ $\sqrt{b}$ +1）（ $\sqrt{b}$ ﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 $\sqrt{3}$ 与 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{2}$ +1与 $\sqrt{2}$ ﹣1，2 $\sqrt{3}$ +3 $\sqrt{5}$ 与2 $\sqrt{3}$ ﹣3 $\sqrt{5}$ 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如： $\frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ； $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^{2}}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = 3 + 2 \sqrt{2}$ ．解答下列问题：

(1)、3﹣ $\sqrt{7}$ 与互为有理化因式，将 $\frac{2}{3 \sqrt{2}}$ 分母有理化得；

(2)、①直接写出式子 $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ \frac{1}{\sqrt{2019} + \sqrt{2018}}) \times (\sqrt{2019} + 1)$
的计算结果．
②比大小 $\sqrt{2020} - \sqrt{2019}$ $\sqrt{2019} - \sqrt{2018}$ （直接填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）

(3)、已知有理数a、b满足 $\frac{a}{\sqrt{2} + 1} + \frac{b}{\sqrt{2}} = - 1 + 2 \sqrt{2}$ ，求a、b的值．

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27. 已知 $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2} ； \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ； \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} ⋯$ ，

(1)、观察上式得出规律，则 $\frac{1}{99 \times 100} =$ ， $\frac{1}{n (n + 1)} =$ ．

(2)、若 $\sqrt{a - 1} + \sqrt{a b - 2} = 0 ，求 a 、 b$ 的值．

(3)、由（2）中 $a$ 、 $b$ 的值，求 $\frac{1}{a b} + \frac{1}{(a + 1) (b + 1)} + \frac{1}{(a + 2) (b + 2)} + ⋯ + \frac{1}{(a + 2014) (b + 2014)}$ 的值．

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