陕西省西安市高陵区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2022-12-12 类型：期中考试

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一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．）

1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A、 $x - y = 6$ B、 $x^{2} - 2 x - 6 = 0$ C、 $x y - 2 = 8$ D、 $\frac{1}{x} = 9$

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2. 若 $\frac{a}{b} = \frac{5}{4}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{9}{5}$

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3. 如图，已知 $A B ∥ C D ∥ E F$ ，若 $\frac{A C}{A E} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{B D}{B F}$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{3}$

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4. 某射击运动员在同一条件下射击，结果如下表所示：
射击总次数n
10
20
50
100
200
500
1000
击中靶心的次数m
8
17
40
79
158
390
780
击中靶心的频率
0.8
0.85
0.8
0.79
0.79
0.78
0.78
根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（）

A、0.78 B、0.79 C、0.8 D、0.85

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5. 如图，如果 $∠ B = ∠ D$ ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定 $△ A B C ∽ △ A D E$ 的是（）

A、 $∠ C = ∠ A E D$ B、 $∠ B A C = ∠ D A E$ C、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$ D、 $∠ B A D = ∠ C A E$

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 和四边形 $A E F C$ 是两个矩形，点B在 $E F$ 边上，若 $A B = 2 ， A C = 3$ ，则矩形 $A E F C$ 的面积为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、6

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7. 某产品经过两次连续涨价，销售单价由原来的28元上升到40元，若该产品平均每次涨价的百分率为x，根据题意，下列方程正确的是（）

A、 $28 (1 + x) = 40$ B、 $28 (1 + x)^{2} = 40$ C、 $28 (1 + x^{2}) = 40$ D、 $28 [(1 + x) + (1 + x)^{2}] = 40$

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $A C ， B D$ 相交于点O，E是 $O A$ 的中点，连接 $B E$ 并延长交 $A D$ 于点F．已知 $B E = 4$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9. 如图，以正方形 $A B C D$ 的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为 $(1 ， 1)$ ，则点D的坐标为．

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10. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点处，线段 $A B$ 与 $C D$ 相交于点E，则 $\frac{A E}{B E}$ 的值为．

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11. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - m x + 2 = 0$ 有一个根是1，则m的值为．

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12. 从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名同学去参加“喜迎二十大”的演讲比赛，则恰好抽到乙、丙同学的概率是．

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13. 符合黄金分割比例 $(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})$ 形式的图形很容易使人产生视觉上的美感。在如图所示的五角星中， $A D = B C = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，且C，D两点都是 $A B$ 的黄金分割点，则 $C D$ 的长为．

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三、解答题（共13小题，计81分．）

14. 解方程： $x^{2} - 4 x - 21 = 0$ ．

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15. 如图，菱形 $A B C D$ 的两条对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，若 $A C = 8 ， O B = 2$ ，求菱形 $A B C D$ 的周长．

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16. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - m x + m - 1 = 0$ ．求证：方程总有两个实数根．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ．作出点D，使四边形 $A B C D$ 是矩形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $D E ⊥ A B ， D F ⊥ B C ， D E = D F$ ．求证： $▱ A B C D$ 是菱形．

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19. 某校将举办“国学经典”的演讲比赛，九年级通过预赛选出三名男生和两名女生，共5名同学作为推荐人选．

(1)、若从中随机选一名同学参加学校比赛，则选中女生的概率为．

(2)、若从中随机选两名同学组成一组选手参加比赛，请用树状图（或列表法）求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4 ， B C = 5$ ， D，E分别为 $B C ， A C$ 边上的点， $∠ A D E = ∠ B$ ，当 $B D = 2$ 时，求 $E C$ 的长．

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21. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $B D ⊥ A B$ ，延长 $A B$ 至点E，使 $B E = A B$ ，连接 $E C$ ．

(1)、求证：四边形 $B E C D$ 是矩形．

(2)、连接 $A C$ ，若 $A D = 3 ， C D = 2$ ，求 $A C$ 的长．

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22. 某水果店经销一种进口水果，其进价为每千克40元，按每千克60元的价格出售，每天可售出400千克，市场调查发现，当售价每千克降低1元时，则每天销量可增加50千克．

(1)、当售价为每千克50元时，每天销售这种水果千克，每天获得利润元．

(2)、若要使每天的利润为9750元，同时又要尽快减少库存，则每千克这种水果应降价多少元？

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23. 如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．

(1)、求原矩形的长和宽的比．

(2)、若 $A B = 4$ ，求矩形 $A B C D$ 的面积．

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24.

(1)、课本再现
教材中小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”的游戏，若转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，就可以配成紫色．小贤和小明受到启发，也制作了两个“配紫色”的游戏转盘（如图1），规则如下：如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，两人分别转动两个转盘，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么就能配成紫色．若配成紫色，则小贤赢，否则小明赢．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

(2)、在（1）中规则不变的情况下，请你在图2中设计一个游戏，使转动两个转盘能配成紫色的概率为 $\frac{1}{3}$ ．

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25. 如图1，在 $R t △ A B C$ 纸片中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 6$ ， D，E分别是 $B C ， A B$ 边上的动点，且 $B E = B D$ ，连接 $D E$ ，将 $△ B D E$ 沿 $D E$ 翻折，点B落在点F的位置，连接 $A F$ ．

(1)、如图2，当点F在 $A C$ 边上时，求 $B E$ 的长．

(2)、如图3，点D，E在运动过程中，当 $A F ∥ D E$ 时，求 $A F$ 的长．

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26. 问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形 $A B C D$ 和正方形 $A E F G$ 中，点G，A，B在一条直线上，连接 $D G ， B E$ （如图1）．

(1)、操作发现
图1中线段 $D G$ 和 $B E$ 的数量关系是，位置关系是．

(2)、在图1的基础上，将正方形 $A E F G$ 绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．

(3)、类比探究
如图3，若将图2中的正方形 $A B C D$ 和正方形 $A E F G$ 都变为矩形，且 $A D = \sqrt{2} A B ， A G = \sqrt{2} A E$ ，请仅就图3的情况探究 $B E$ 与 $D G$ 之间的数量关系．

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射击总次数n	10	20	50	100	200	500	1000
击中靶心的次数m	8	17	40	79	158	390	780
击中靶心的频率	0.8	0.85	0.8	0.79	0.79	0.78	0.78