浙江省嘉兴市桐乡六中教育集团三校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-12-12 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。）

1. 抛物线 $y = - 2 (x + 3)^{2} + 4$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 3 ， 4)$ B、 $(3 ， 4)$ C、 $(- 3 ， - 4)$ D、 $(3 ， - 4)$

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2. 甲，乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏，两人玩一次恰好平手的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 若 $⊙ O$ 的半径是3，点 $P$ 在圆外，则点 $O P$ 的长可能是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{7}$

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4. 下列图形中，不属于中心对称图形的是（）

A、等边三角形 B、平行四边形 C、矩形 D、菱形

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5. 下列命题正确的是（）

A、长度相等的弧是等弧 B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C、不在同一直线上的三点确定一个圆 D、圆内接三角形一定是等边三角形

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6. 已知点 $A (- 3 ， y_{1})$ ，点 $B (0 ， y_{2})$ ， $C (3 ， y_{3})$ 都在二次函数 $y = - (x + 2)^{2} + 4$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{1} = y_{3}$ C、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ D、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$

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7. 若关于 $x$ 的二次函数 $y = x^{2} - 3 x + m$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点，且 $m \geq - 3$ ，则从满足条件的所有整数 $m$ 中随机选取一个，恰好是负数的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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8. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$ ，它的对称轴为直线 $x = - 1 .$ 则下列选项中正确的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $4 a c - b^{2} > 0$ C、 $c - a < 0$ D、 $a - b + c > 0$

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9. 如图，在平面直角坐标系中， $⊙ P$ 的圆心坐标 $(6 ， a) (a > 5)$ ，半径为5，函数 $y = x$ 的图象被截得的弦 $A B$ 的长为8，则 $a$ 的值为（）

A、6 B、 $6 + \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $6 + 3 \sqrt{2}$

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10. 已知二次函数 $y = (x - a)^{2} + 5 - a^{2}$ ，当 $2 a \leq x \leq 2 a + 2$ 时，有最大值 $y_{1}$ 及最小值 $y_{2}$ ，当 $y_{1} - y_{2} = a^{2} - 1$ 时，实数 $a$ 的值为（）

A、-3或-1或5 B、-3或5 C、-1或 $- \frac{5}{4}$ D、-3或 $- \frac{5}{4}$ 或5

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二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11. 抛物线 $y = x^{2} + m x + 4$ 的图象与 $y$ 轴的交点坐标是.

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12. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1枚，朝上一面的点数为偶数的概率是．

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13.
如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED ，若线段AB=3，则BE= ．

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14. 将抛物线 $y = x^{2} + 1$ 向右平移2个单位长度后所得的抛物线的函数表达式为.

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15. 在一个不透明的袋子里有50个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此估计袋中红球的个数为．

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16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为.

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17. 汽车刹车后行驶的距离 $s ($ 单位： $m)$ 关于行驶的时间 $($ 单位： $)$ 的函数解析式是 $s = 15 t - 6 t^{2}$ ，汽车刹车后到停下来前进了米.

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18. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则不等式 $a {(x - 2)}^{2} + b (x - 2) + c < 0$ 的解集为.

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19. 如图，以原点 $O$ 为圆心的圆过点 $A (4 ， 0)$ ，圆内一个固定点 $B (- 1 ， 2)$ ，过点 $B$ 作直线，交圆于 $M$ ， $N$ 两点，求 $M N$ 的最小值为.

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20. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 5$ ，点 $E$ 是线段 $B C$ 上一个动点，连结 $A E$ ，将 $A E$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $E F$ ，连结 $C F$ ， $D F$ .

(1)、当 $B E = 1$ 时，求 $∠ F C D =$ $°$ ；

(2)、当 $B E =$ 时，能使 $△ E C F$ 与 $△ D C F$ 面积相等.

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三、解答题（本大题共6小题，共40.0分。）

21. 如图所示，马桶盖的内口可以近似的看做上半部分半圆与下半部分抛物线的组合，根据图中的尺寸，建立如图所示的坐标系，图形关于 $y$ 轴对称，且 $A B = 20 c m$ ， $C D = 27 c m .$ 我们把抛物线部分记作 $y$ .

(1)、直接写出点 $A$ 、点 $C$ 的坐标；

(2)、请求出抛物线部分的函数表达式 $y$ .

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22. 为开展“喜迎二十大”主题教育宣讲活动，某学校从甲、乙两名男生和丙、丁、戊3名女生中随机选派一男一女进行宣讲.

(1)、请列举出所有可能选派的结果；

(2)、求选派丁去宣讲的概率.

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23. 习近平总书记在全国劳动模范和先进工作者表彰大会上讲话：劳动教育应纳入人才培养全过程.为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，发现其平均单株产量 $y$ 千克与每平方米种植的株数 $x (2 \leq x \leq 8$ ，且 $x$ 为整数 $)$ 构成一种函数关系；每平方米种植2株时，平均单株产量为5千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量将减少0.5千克.

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？

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24. 【概念引入】 $]$
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距.

(1)、【概念理解】
如图1，在 $⊙ O$ 中，半径是5，弦 $A B = 8$ ，则这条弦的弦心距 $O C$ 长为.

(2)、通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等.但是小明想证明时却遇到了麻烦.请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在 $⊙ O$ 中， $A B = C D$ ， $O M ⊥ A B$ ， $O N ⊥ C D$ ，求证： $O M = O N$ .

(3)、【概念应用】
如图3，在 $⊙ O$ 中 $A B = C D = 16$ ， $⊙ O$ 的直径为20，且弦 $A B$ 垂直于弦 $C D$ 于 $E$ ，请应用上面得出的结论求 $O E$ 的长.

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25. 如图，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 上的一点，延长 $B C$ 到 $F$ 使 $A E = C F$ ，连接 $D E$ 、 $D F$ .

(1)、能通过旋转 $△ D A E$ 得到 $△ D C F$ 吗？说明理由.

(2)、连接 $E F$ ，过 $D$ 作 $D M$ 垂直 $E F$ 于 $M$ ，交 $B C$ 于 $N$ ，若 $B N = 3$ ， $C N = 2$ ，求 $A E$ 的长.

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26. 如图1，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过原点 $O$ ，它的对称轴是直线 $x = 2$ ，动点 $P$ 从抛物线的顶点 $A$ 出发，在对称轴上以每秒 $1$ 个单位的速度向上运动，设动点 $P$ 运动的时间为 $t$ 秒，连接 $O P$ 并延长交抛物线于点 $B$ ，连接 $O A$ ， $A B$ .

(1)、求抛物线的函数解析式；

(2)、当 $△ A O B$ 为直角三角形时，求 $t$ 的值；

(3)、如图2， $⊙ M$ 为 $△ A O B$ 的外接圆，在点 $P$ 的运动过程中，点 $M$ 也随之运动变化，请你探究：在 $1 \leq t \leq 5$ 时，求点 $M$ 经过的路径长度.

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