浙江省宁波市镇海区镇海蛟川书院2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $5 a = 8 b$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （　　）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{3}{8}$

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2. 已知 $⊙ O$ 的半径是6cm，点P到圆心O的距离为4，则点P与 $⊙ O$ 的位置关系是（　　）

A、点在圆外 B、点在圆上 C、点在圆内 D、无法判断

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3. 把抛物线 $y = - 2 x^{2}$ 向上平移 $1$ 个单位，得到的抛物线是（）

A、 $y = - 2 {(x + 1)}^{2}$ B、 $y = - 2 {(x - 1)}^{2}$ C、 $y = - 2 x^{2} + 1$ D、 $y = - 2 x^{2} - 1$

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4. 掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最小的是（）

A、大于3的点数 B、小于3的点数 C、大于5的点数 D、小于5的点数

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5. 如图，在正五边形中， $B E$ 是对角线， $A F ⊥ B E$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，则 $∠ B A F$ 的度数为（　　）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $3 6^{∘}$ C、 $4 0^{∘}$ D、 $5 4^{∘}$

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6. 如图所示，在△ABC中，D、E为AB、AC的中点，若 $S_{△ A D E} = 2$ ，则四边形DBCE的面积为（　　）

A、4 B、6 C、8 D、10

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7. 如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则旋转中心是点（）

A、O B、P C、Q D、M

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8. 如图示，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 $△ A B C ∽ △ A D E$ 的是（　　）

A、 $∠ D = ∠ B$ B、 $∠ C = ∠ A E D$ C、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$ D、 $\frac{A B}{A D} = \frac{B C}{D E}$

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9. 如图， $A B$ 是半圆的直径， $∠ A B C$ 的平分线分别交弦 $A C$ 和半圆于E和D，若 $B E = 2 D E$ ， $A B = 4$ ，则 $A E$ 长为（　　）

A、2 B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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10. 如图，点P是平行四边形 $A B C D$ 内部一点，过P分别作 $A B$ 和 $B C$ 的平行线交平行四边形 $A B C D$ 的四边于 $E ， F ， G ， H$ . 连结 $A C$ 分别交 $E G ， F H$ 于M和N. 若四边形 $F B G P ~$ 四边形 $E P H D$ ，且四边形 $F B C H$ 的面积是四边形 $A F P \overset{'}{E}$ 的3倍. 下列选项正确的是（　　）

A、 $E P = P H$ B、 $A N = E P$ C、 $A N = 2 M N$ D、 $A M = 2 C M$

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二、填空题

11. 抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 的对称轴是.

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12. 已知线段 $a = 4 c m$ ， $b = 5 c m$ ，那么线段a、b的比例中项等于cm.

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13. 在半径为1的圆中，长度等于 $\sqrt{2}$ 的弦所对的圆周角是度

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14. 如图，等边 $△ A B C$ 的边长为2 ，点 $D 、 E 、 F$ 分别是 $B C$ 、 $A B$ 、 $A C$ 边上的中点，以D为圆心， $D E$ 长为半径作 $\overset{⌢}{E F}$ ，连接 $D E 、 D F$ .假设可以在 $△ A B C$ 内部随机取点，那么这个点取在阴影部分的概率是.

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15. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E是 $B C$ 边上一点，连接 $A E 、 B D$ 交于点F，若 $∠ D A F = ∠ A B D$ ， $\frac{A F}{F E} = \frac{3}{2}$ ， $B E = \sqrt{15}$ ，则 $D F$ 的长是.

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16. 如图，等腰 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点D是 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点，连接 $B D$ ，点E是 $B D$ 上一点，满足 $∠ A B E = ∠ E C B$ . 若 $C D = 2$ ，则 $△ A E C$ 的面积是.

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三、解答题

17. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．

(1)、在图①中以线段 $A D$ 为边画一个三角形，使它与 $△ A B C$ 相似．

(2)、在图②中画一个三角形，使它与 $△ A B C$ 相似（不全等）．

(3)、在图③中的线段 $A B$ 上画一个点P，使 $\frac{A P}{P B} = \frac{2}{3}$ ．

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18. 公元前138年张骞出使西域，自长安出发，经匈奴，西行至大宛，经康居，抵达大月氏，再至大夏，最后于公元前126年返回汉朝.张骞出使西域后汉夷文化交往频繁，中原文明通过“丝绸之路”迅速向四周传播.根据古今地图对比，南南同学发现丝绸之路途经现代西安，吐鲁番，喀什等地.

(1)、南南爸爸想趁暑假一家人一起出游，若只能去一个地方游览，且选择三个地方的概率相等，那么南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择西安的概率是.

(2)、若时间充足，南南一家决定以上三个城市都去一趟，求南南一家最后一站去喀什的概率.

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19. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系： $y = - 2 x + 80 (20 \leq x \leq 40)$ ，设这种健身球每天的销售利润为w元.

(1)、如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是个；

(2)、求w与x之间的函数关系式；

(3)、该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

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20. 如图， $⊙ O$ 的半径为2，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，圆心 $O$ 到 $A C$ 的距离等于 $\sqrt{3}$ .

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、求 $∠ A D C$ 的度数.

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21. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图，其中图象与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，与 y轴交于点 $C (0 ， - 5)$ ，且经过点 $D (3 ， - 8)$ .

(1)、求此二次函数的解析式

(2)、图象过三点 $E (- 2 ， y_{1}) ， F (1 ， y_{2}) ， G (4 ， y_{3})$ ，比较 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小.（用 <连接）

(3)、直接写出不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集；

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22. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB ，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆”AB＝2.5米，又BD＝23米，FB＝2米．

(1)、求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）？

(2)、小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？

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23.

(1)、【基础巩固】如图1，在 $△ A B C$ 中， $D ， E ， F$ 分别为 $A B ， A C ， B C$ 上的点， $D E ∥ B C ， A F$ 交 $D E$ 于点G，求证： $\frac{D G}{E G} = \frac{B F}{C F}$ .

(2)、【尝试应用】如图2，已知 $D 、 E$ 为 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的两点，且满足 $B D = 2 D E = 4 C E$ ，一条平行于 $A B$ 的直线分别交 $A D 、 A E$ 和 $A C$ 于点 $L 、 M$ 和 $N$ ，求 $\frac{L M}{M N}$ 的值.

(3)、【拓展提高】如图3，点E是正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上的一个动点， $A B = 3$ ，延长 $C D$ 至点F，使 $D F = 2 D E$ ，连接 $C G$ ，求 $C G$ 的最小值.

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24. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，过点D作 $D E ∥ A B$ ，交 $B C$ 于点E，连结 $A E$ 交 $B D$ 于点F. 已知 $∠ A F D = ∠ A D B + ∠ C D E$ ，

(1)、①假设 $∠ A B D = α$ ，则 $∠ A F D =$ .
②证明： $A B = A E$ ；

(2)、若 $A B^{2} = B F \cdot B D ， A D = 2$ ，求 $C B$ 的长；

(3)、若 $C E = 2 ， A B = 8$ ，求 $D E$ 的长.

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