山西省高中教育发展联盟2022-2023学年高一上学期数学11月期中检测试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | - 1 < x < 4}$ ，集合 $B = {y | y = x^{2}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 4}$ B、 ${x | 0 \leq x < 4}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 命题“ $\exists x > 2$ ，使得 $x^{2} - 3 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 2$ ，都有 $x^{2} - 3 > 0$ B、 $\exists x \leq 2$ ，使得 $x^{2} - 3 > 0$ C、 $\exists x \leq 2$ ，使得 $x^{2} - 3 \leq 0$ D、 $\forall x \leq 2$ ，都有 $x^{2} - 3 > 0$

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3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = 2 x$ 与 $g (x) = \sqrt{4 x^{2}}$ B、 $f (x) = \frac{| x |}{x}$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x > 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ C、 $y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 与 $m = n + 1$ D、 $y = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$

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4. 设 $a ， b ， c ， d$ 为实数，且 $a > b > 0 > c > d$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $c^{2} < c d$ B、 $a - c < b - d$ C、 $a c > b d$ D、 $\frac{c}{a} - \frac{d}{b} < 0$

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5. 若函数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{m x^{2} + 2 m x + 4}}$ 的定义域为 $R$ ，则实数m的取值范围为（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $[0 ， 4]$ C、 $[0 ， 4)$ D、 $(- \infty ， 0] ∪ (4 ， + \infty)$

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6. 已知 $y = f (x)$ 是定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的增函数， $a = f (5^{0.3}) ， b = f (0 . 3^{5}) ， c = f (0 . 2^{5})$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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7. 下列函数最小值为4的是（）

A、 $y = x + \frac{4}{x} (x < 0)$ B、 $y = x + \frac{1}{x - 2} (x > 2)$ C、 $y = \frac{x^{2} + 10}{\sqrt{x^{2} + 6}}$ D、 $y = x + \frac{9}{x} - 2$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 2 ， 2 b]$ 上的偶函数，且在 $[- 2 b ， 0]$ 上单调递增，则 $f (x + 1) \leq f (- 1)$ 的解集为（）

A、 $[- 2 ， 0]$ B、 $[- 3 ， 1]$ C、 $(- \infty ， - 2] \cup [0 ， + \infty)$ D、 $[- 3 ， - 2] ∪ [0 ， 1]$

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二、多选题

9. 命题“ $\exists - 1 \leq x \leq \sqrt{2} ， x^{2} + m^{2} - 3 m \leq 0$ ”是真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $0 \leq m \leq 3$ B、 $1 \leq m \leq 2$ C、 $- 1 ≤ m ≤ 3$ D、 $0 < m < 3$

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10. 在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率 $π$ 准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率 $π$ 小数点后第n位上的数字为y，下列结论正确的是（）

A、y不是n的函数 B、y是n的函数，且该函数定义域为 $N^{*}$ C、y是n的函数，且该函数值域为 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9}$ D、y是n的函数，且该函数在定义域内不单调

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11. 已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{3^{x} - 1}$ 为奇函数，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 ${x | x \neq 0}$ B、 $a = - 1$ C、 $f (x)$ 的值域为 $(1 ， + \infty)$ D、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(- \infty ， 0) ， (0 ， + \infty)$

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12. 1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集 $Q$ 划分为两个非空的子集M与N，且满足 $M \cup N = Q$ ， $M \cap N = \emptyset$ ， M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称 $(M ， N)$ 为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（）

A、 $M = {x \in Q | x < \sqrt{2}} ， N = {x \in Q | x \geq \sqrt{2}}$ 满足戴德金分割 B、M没有最大元素，N有一个最小元素 C、M没有最大元素，N没有最小元素 D、M有一个最大元素，N有一个最小元素

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三、填空题

13. 若函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 1) = \frac{x}{x - 1}$ ，则 $f (2) =$ .

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14. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{\frac{1}{m}}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的值为．

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15. 已知 $f (x) = x + \sqrt[3]{x}$ ，若正数 $a ， b$ 满足 $f (4 a) + f (b - 3) = 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a + | x - 2 | ， x \leq 1 \\ x^{2} - 2 a x + 2 a ， x > 1 \end{array}$ 且 $f (x) \geq 0$ 在 $R$ 上恒成立，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | a - 1 \leq x \leq 2 a + 1} ， B = {x | y = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A ∪ B ， A ∩ (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数a的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x ， x \geq 0 \\ \frac{1}{2} x + 1 ， x < 0 \end{array}$ .

(1)、画出函数 $f (x)$ 的图象并写出它的值域；

(2)、若 $f (x) \geq \frac{3}{4}$ ，求x的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解不等式 $f (2 x - 1) + f (x + 1) \leq 0$ .

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20. 某商场为回馈客户，开展了为期10天的促销活动，经统计，在这10天中，第x天进入该商场的人次 $f (x)$ （单位：百人）近似满足 $f (x) = 5 + \frac{5}{x}$ ，而人均消费 $g (x)$ （单位：元）是关于时间x的一次函数，且第3天的人均消费为560元，第6天的人均消费为620元.

(1)、求该商场的日收入y（单位：元）与时间x的函数关系式；

(2)、求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值.

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21. 已知关于x的不等式 $a x^{2} + 2 x - a + 2 > 0$ .

(1)、若当 $1 < x \leq 2$ 时， $a x^{2} + 2 x - a + 2 > 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、当 $a \in R$ 时，求此不等式的解集.

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22. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ 是定义域为 $R$ 的奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上的单调性并用定义证明；

(3)、设 $F (x) = 2^{2 x} + 2^{- 2 x} - 2 m f (x)$ ，求 $F (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最小值 $g (m)$ .

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