辽宁省六校协作体2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ ， $B = {x | x \in A ， - x \notin A}$ ，则 $B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${2 ， 3 ， 4}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${- 3 ， - 4}$

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2. 函数 $f (x) = x^{3} + 5 x - 7$ 的零点所在的区间可以是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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3. 下列函数既是偶函数，又在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递减的函数是（）

A、 $y = 2 | x | + 3$ B、 $y = \frac{3}{x}$ C、 $y = - 2 x^{2} + 1$ D、 $y = 7 x$

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4. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2026 (x < - 1) \\ - \frac{8}{x^{2} + 1} (- 1 \leq x \leq 0) \\ - 1 (x > 0) \end{array}$ ，则 $f (f (f (2022)))$ 的值是（）

A、2022 B、 $- 1$ C、 $- 4$ D、8

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5. 使得不等式“ $| x + 1 | - x - 1 > 0$ ”成立的一个必要不充分条件是（）

A、 $x + 2 < 0$ B、 $\frac{1}{x + 1} < 0$ C、 $x < 0$ D、 $x^{2} - 4 > 0$

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6. 设 $x ∈ R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则满足不等式 ${[x]}^{2} + 5 [x] - 14 \leq 0$ 解集是（）

A、 $[- 7 ， - 2]$ B、 $[- 8 ， 3)$ C、 $[- 7 ， 3)$ D、 $[- 7 ， - 3]$

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7. 若定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 单调递减，且 $f (- 7) = 0$ ，则满足 $x f (x - 5) \geq 0$ 的解集是（）

A、 $[- 2 ， 0) ∪ (5 ， 12]$ B、 $[- 2 ， 0] ∪ [5 ， 12]$ C、 $[- 2 ， 0] ∪ [5 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] ∪ [5 ， 12]$

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8. 已知函数 $f (x) = \sqrt{4 a x^{2} + (8 - 4 a) x + 1}$ 的值域为 $[0 ， + ∞)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $[1 ， 4] ∪ {0}$ C、 $(0 ， 1] \cup [4 ， + \infty)$ D、 $[0 ， 1] \cup [4 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列选项中，正确的是（）

A、若a，b为实数，且 $a > b$ ，那么 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ B、若a，b为实数，且 $a^{3} > b^{3}$ ，那么 $a > b$ C、若a，b，c为实数，且 $a c^{2} \geq b c^{2}$ ，那么 $a > b$ D、若a，b，c均为正实数，那么 $a + b + c \geq \sqrt{a b} + \sqrt{b c} + \sqrt{a c}$

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10. 已知函数 $f (\sqrt{x} - 3) = 2 x - 3 \sqrt{x} - 9$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $f (4) = 68$ B、函数 $y = f (x)$ 有两个不同零点 C、函数 $y = f (x)$ 有最小值，无最大值 D、函数 $y = f (x)$ 的增区间为 $[0 ， + ∞)$

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11. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x + 5 + 6 a & (x < 3) \\ x^{2} + 2 x + 4 a & (x \geq 3) \end{array}$ 在 $R$ 上是单调函数，则 $a$ 的值可能是（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、2

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12. 已知正实数 $m$ ， $n$ 满足 $\sqrt{9 n^{2} - 24 n + 17} - \sqrt{4 m^{2} + 1} = 2 m + 3 n - 4$ ，若方程 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = t$ 有解，则实数 $t$ 的值可以为（）

A、 $\frac{5 + 2 \sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{11}{4}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (2 x - 3)$ 的定义域为 $[- 1 ， 4]$ ，设函数 $F (x) = \frac{f (1 - 2 x)}{\sqrt{8 x - x^{2} - 7}}$ ，则函数 $F (x)$ 的定义域是.

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14. 关于 $x$ 不等式 $a x + b < 0$ 的解集为 ${x | x > 3}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $\frac{a x + b}{x^{2} - 4 x - 5} \geq 0$ 的解集为.

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{p x^{3} + 15 x^{2} + q x + 15}{2 + 2 x^{2}} (p q \neq 0)$ ，若存在正实数a，使得函数 $f (x)$ 在区间 $[- a ， a]$ 有最大值 $M$ 及最小值m，则 $M + m =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 3 | + 1 & (x > 0) \\ - x^{2} - 6 x + 1 & (x \leq 0) \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - 2 a f (x) + a + 2 = 0$ 有8个不等的实数根，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - a + 2 \leq x < 3 a}$ ， $B = {x | x^{2} + x - 6 \leq 0}$ ，实数集 $R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A \cup B$ 及 $(∁_{R} A) ∩ B$ ；

(2)、若 $A ⊆ B$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18. 设 $a \in R$ ，命题 $p ： \exists x \in [- 1 ， 3]$ ，满足 $(a - 3) x - 1 > 0$ ，命题 $q ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + a x + 4 > 0$ .

(1)、若命题p，q都是真命题，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若p和q中有且仅有一个为真命题，求a的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $[- 4 ， 4]$ 的奇函数，当 $0 < x \leq 4$ 时， $f (x) = - x^{2} + 8 x + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求关于 $t$ 不等式 $f (2 - t) + f (3 - t^{2}) < 0$ 的解集.

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20.

(1)、已知a，b，c为正数，且 $a + b + 2 c = 3$ ，证明： $\frac{3 - a}{b} \cdot \frac{3 - b}{c} \cdot \frac{3 - 2 c}{a} \geq 16$ .

(2)、已知 $m \in R$ ，解关于 $x$ 不等式 $\frac{m x - x - 2}{x - 1} \geq 0$ .

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21. 在经济学中，函数 $f (x)$ 的边际函数 $M f (x) = f (x + 1) - f (x)$ .某机械设备公司生产某种精密测量仪器，已知每月生产 $x$ 台 $(x \in N^{*})$ 的收益函数 $R (x) = 5000 x - 30 x^{2}$ （单位：元），成本函数 $C (x) = 500 x + 6000$ （单位：元），该机械设备公司每月最多生产100台该精密测量仪器.（利润函数 $=$ 收益函数 $-$ 成本函数）

(1)、求利润函数 $P (x)$ 及边际利润函数 $M P (x)$ ；

(2)、此机械设备公司每月生产多少台该精密测量仪器时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到0.1）

(3)、求 $x$ 为何值时利润函数 $P (x)$ 取得最大值，并解释边际利润函数 $M P (x)$ 的实际意义.

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22. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $\forall x$ ， $y ∈ R$ ， $f (x - y) = f (x) + f (- y)$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性并证明；

(3)、若对任意的 $t \in [1 ， 2]$ ，存在 $x \in [6 ， 7]$ ，使得不等式 $f (3 x^{2} + 3 t x) + f (3 x + 7 m) \geq 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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