辽宁省辽西联合校2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $A = {1 ， 2}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${5}$ C、 ${1 ， 5}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 命题“ $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \leq 1$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} \leq 0$ B、 $\forall x > 1$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} \leq 0$ C、 $\exists x_{0} > 1$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} \leq 0$ D、 $\forall x \leq 1$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} \leq 0$

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3. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 5 - x^{2}, x \leq 1 \\ x^{2} - x - 3, x > 1 \end{array}$ ，则 $f [f (2)]$ 的值为（）

A、1 B、3 C、4 D、-4

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4. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $a < 2$ 且 $b < 2$ ”是“ $a + b < 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $- 1 \leq x + y \leq 1 ， 1 \leq x - y \leq 5$ ，则 $3 x - 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， 13]$ B、 $[3 ， 13]$ C、 $[2 ， 10]$ D、 $[5 ， 10]$

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6. 函数 $f (x) = 2^{x} + x - 5$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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7. 若函数 $f (x - 1)$ 是定义在 $(- \infty, + \infty)$ 上的偶函数，对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [- 1, + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ ，有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ，则（）

A、 $f (1) < f (- 2) < f (3)$ B、 $f (3) < f (- 2) < f (1)$ C、 $f (3) < f (1) < f (- 2)$ D、 $f (- 2) < f (1) < f (3)$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x ， x \geq 1 \\ a x - 1 ， x < 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{2}{3})$ B、 $(0 ， \frac{2}{3}]$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 1]$

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二、多选题

9. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为实数，且 $a > b > 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ D、 $a^{2} > a b > b^{2}$

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10. 下列函数中，表示同一个函数的是（）

A、 $y = \frac{(x + 5) (x - 5)}{x - 5}$ 与 $y = x + 5$ B、 $y = | x |$ 与 $y = {\begin{matrix} x ， x \geq 0 \\ - x ， x < 0 \end{matrix}$ C、 $y = x^{2}$ 与 $y = {(\sqrt{x})}^{4}$ D、 $y = x^{2}$ 与 $y = \sqrt{x^{4}}$

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11. 下列命题是假命题的是（）

A、不等式 $\frac{1}{x} > 1$ 的解集为 ${x | x < 1}$ B、函数 $y = x^{2} - 2 x - 8$ 的零点是(-2，0)和(4，0) C、若 $x \in R$ ，则函数 $y = \sqrt{x^{2} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2 D、 $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ 是 $x < 2$ 成立的充分不必要条件

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12. 对于实数 $x$ ，符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[π] = 3$ ， $[- 1.5] = - 2$ ，定义函数 $f (x) = x - [x]$ ，则下列命题中正确的是（）

A、 $f (- 3.9) = f (4.1)$ B、函数 $f (x)$ 的最大值为1 C、函数 $f (x)$ 的最小值为0 D、方程 $f (x) - \frac{1}{2} = 0$ 有无数个根

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{{(x - 2)}^{0}}{\sqrt{x - 1}}$ 的定义域为

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14. 已知 $x > 0 ， y > 0 ， x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是

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15. 不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集是 $(- \infty ， 1) \cup (2 ， + \infty)$ ，则不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集是.

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16. 已知函数 $f (x) = m a x {x^{2} ， x + 1}$ ，其中 $x ∈ R$ ，则 $f (2) =$ ， $f (x)$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知集合 $U = {x | 1 \leq x \leq 7}$ ， $A = {x | 2 \leq x < 5}$ ， $B = {x | 3 < x \leq 7}$ ．

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、求 $(∁_{U} A) ∪ B$ ．

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18. 已知集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | a \leq x \leq a + 2}$ ．

(1)、若a=1，求 $A \cup B$ ；

(2)、在① $A \cup B = A$ ；② $A ∩ B = B$ 中任选一个作为已知，求实数a的取值范围．

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19. 研发投入是技术创新的主要来源，企业加强对研发活动的支持，加大研发投入，有助于开发新的技术和产品，同时能够提高生产效率降低生产成本，从而在竞争中占据一定优势，促进企业绩效的提升，使得企业可持续发展．某企业的年利润 $y$ （千万元）与每年投入的研发费用 $x$ （百万元）之间的函数关系式为 $y = \frac{1050 x}{x^{2} + 5 x + 1600}$ ．

(1)、当投入的研发费用 $x$ 为多少时年利润最大？最大年利润是多少（精确到 $0.1$ 千万元）？

(2)、若要求年利润不低于 $10$ 千万元，试问每年投入的研发费用应该在什么范围内？

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20. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，现已画出函数 $f (x)$ 在 $y$ 轴左侧的图象，如图所示．

(1)、画出函数 $f (x)$ 在 $y$ 轴右侧的图象，并写出函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调递增区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式．

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21. 设函数 $f (x) = m x^{2} - m x - 1$ ．

(1)、若对于一切实数 $x$ ， $f (x) < 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围；

(2)、解不等式 $f (x) < (m - 1) x^{2} + 2 x - 2 m - 1$ ．

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22. 已知定义域在R上的函数 $f (x)$ 满足， $f (x + y) = f (x) + f (y) + f (0)$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ．

(1)、证明函数 $f (x)$ 在定义域上的单调性；

(2)、证明函数 $f (x)$ 在定义域上奇偶性；

(3)、求关于x不等式 $f (x^{2} + x) + f (x - 3) > 0$ 的解集．

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