辽宁省辽东区域共同体2022-2023学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $M = {x ∣ - 1 < x \leq 2}$ ， $N = {x | x \leq 3}$ ，则 $(∁_{R} M) \cap N =$ （）

A、[2，3] B、（2，3] C、 $(- \infty ， - 1] \cup [2 ， 3]$ D、 $(- \infty ， - 1] \cup (2 ， 3]$

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2. 已知命题 $p$ ：“ $\forall a \geq 0$ ，都有 $x^{2} + 2 a x + a^{2} \geq 0$ ”，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\exists a \geq 0$ ，使得 $x^{2} + 2 a x + a^{2} \leq 0$ B、 $\forall a \geq 0$ ，使得 $x^{2} + 2 a x + a^{2} < 0$ C、 $\exists a \geq 0$ ，使得 $x^{2} + 2 a x + a^{2} < 0$ D、 $\forall a < 0$ ，使得 $x^{2} + 2 a x + a^{2} \leq 0$

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3. 函数 $f (x) = l o g_{2} (3^{x} + 1)$ 的反函数 $y = f^{- 1} (x)$ 的定义域为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $[0 ， + ∞)$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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4. 已知条件 $p ： x > m$ ， $q ： 2 x - 1 > 0$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$

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5. 若 $f (1 - x) = - f (3 + x)$ 恒成立，则函数 $f (2 + x)$ 的图像（）

A、关于点 $(2 ， 0)$ 对称 B、关于直线 $x = 2$ 对称 C、关于点 $(0 ， 2)$ 对称 D、关于原点对称

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6. 若 $a = {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ， $b = l o g_{\frac{1}{2}} 2$ ， $c = 2^{- \frac{1}{2}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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7. 函数 $f (x) = l o g_{a} (x - 1) + 1 (a > 0 且 a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $A$ ，若 $A$ 在直线 $m x + n y - 1 = 0$ 上，其中 $m n > 0$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为（）

A、 $8$ B、 $6$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 - 2 \sqrt{2}$

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8. 定义在 $(0 ， + ∞)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，且 $f (\frac{1}{2}) = 2$ ， $f (2) = 4$ ，则不等式 $f (x) - 4 x > 0$ 的解集为（）

A、 $(2 ， + ∞)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{1}{2})$

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二、多选题

9. 若函数 $f (x) = 2^{(a - 1) x + 3}$ 在R上是减函数，则实数a可以为（）

A、2 B、1 C、0 D、－1

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10. 下列说法正确的有（）

A、函数 $y = x^{2} - 3 x - 4$ 的零点是 $(4 ， 0) ， (- 1 ， 0)$ B、方程 $e^{x} = 3 + x$ 有两个解 C、函数 $y = 3^{x} ， y = l o g_{3} x$ 的图象关于y＝x对称 D、用二分法求方程 $3^{x} + 3 x - 8 = 0$ 在 $x \in (1 ， 2)$ 内的近似解的过程中得到 $f (1) < 0$ ， $f (1.5) > 0$ ， $f (1.25) < 0$ ，则方程的根落在区间 $(1.25 ， 1.5)$ 上

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11. 已知函数 $f (x) = l n x + l n (2 - x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， 2)$ 单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 单调递增，在 $(1 ， 2)$ 单调递减 C、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 D、 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \log_{2} x | (0 < x < 2) \\ x^{2} - 8 x + 13 (x \geq 2) \end{array}$ ，若 $f (x) = a$ 有四个解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $x_{1} + 2 x_{2} \in (3 ， + \infty)$ C、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} \in (10 ， \frac{21}{2})$ D、 $x_{3} \in [2 ， + \infty)$

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三、填空题

13. $\lg 2 + \lg 5 + 2^{\log_{2} 3}$ 的值为．

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14. 不等式 $\log_{3} x > \frac{1}{2} (x - 1)$ 的解集为．

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15. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 3 - 3 a ， x < 0 \\ a^{x} ， x ⩾ 0 \end{array}$ 是R上的减函数，则实数a的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = x + l n (\sqrt{1 + x^{2}} + x)$ ，若不等式 $f (3^{x} - 9^{x}) + f (a \cdot 3^{x} - 2) < 0$ 对任意实数x恒成立，则a的取值范围为．

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四、解答题

17. 在① $A ∩ B = A$ ， ② $A ∩ (∁_{R} B) = A$ ， ③ $A \cap B = \emptyset$ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：
已知集合 $A = {x | a - 1 < x < 2 a + 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求A∪B；

(2)、若______，求实数a的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.

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18. 解答下列问题：

(1)、已知 $f (x)$ 是一次函数，且满足 $2 f (x + 3) - f (x - 2) = 2 x + 21$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $f (x)$ 满足 $3 f (x) + 2 f (- x) = 4 x$ ，求 $f (x)$ 的解析式．

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} \frac{3}{x} \cdot l o g_{3} (9 x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、求不等式 $f (x) < - 4$ 的解集.

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20. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + (2 a - 1) x - 2 > 0$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{3}$ ，求不等式的解集；

(2)、若 $a \in R$ ，求不等式的解集；

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21. 设函数 $f (x)$ 的定义域是 $(0 ， + ∞)$ ，且对任意正实数x，y都有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ 恒成立，已知 $f (2) = 1$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ .

(1)、求 $f (\frac{1}{2})$ 的值；

(2)、判断 $y = f (x)$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 内的单调性，并给出证明；

(3)、解不等式 $f (2 x) > f (8 x - 6) - 1$ .

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22. 已知定义域为 $[- a ， 2 b - 2]$ 的函数 $f (x) = \frac{2}{a (2^{x} + 1)} - \frac{1}{b}$ 是奇函数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性并证明你的结论；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $| f ((2 λ + 1) 2^{x} + 2 λ) | \leq \frac{1}{6}$ 对 $x \in [- 2 ， 2]$ 上恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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