辽宁省鞍山市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）

A、{1，2，3，4} B、{1，2，3} C、{2，3，4} D、{1，3，4}

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2. 已知命题 $p$ ：“ $\forall a \geq 0$ ，都有 $x^{2} + 2 a x + a^{2} \geq 0$ ”，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\exists a \geq 0$ ，使得 $x^{2} + 2 a x + a^{2} \leq 0$ B、 $\forall a \geq 0$ ，使得 $x^{2} + 2 a x + a^{2} < 0$ C、 $\exists a \geq 0$ ，使得 $x^{2} + 2 a x + a^{2} < 0$ D、 $\forall a < 0$ ，使得 $x^{2} + 2 a x + a^{2} \leq 0$

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3. 不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x + 4 \geq 2 (x - 1) ， \\ \frac{2 x + 5}{3} - \frac{3 x - 2}{2} > 1 \end{array}$ 的解集是（）

A、{x|x≤2} B、{x|x≥-2} C、{x|-2<x≤2} D、{x|-2≤x<2}

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4. 设 $x \in R$ ，则“ $| 2 x - 1 | \leq 3$ ”是“ $x + 1 \geq 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若 $α$ ， $β$ 是一元二次方程 $3 x^{2} + 2 x - 9 = 0$ 的两个根，则 $\frac{β}{α} + \frac{α}{β}$ 的值是（）

A、 $\frac{4}{27}$ B、 $- \frac{4}{27}$ C、 $- \frac{58}{27}$ D、 $\frac{58}{27}$

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6. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 满足 $f (2) < 0$ 且 $f (3) > 0$ ，则 $f (x)$ 在 $(2 ， 3)$ 上的零点（）．

A、至多有一个 B、有1个或2个 C、有且仅有一个 D、一个也没有

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7. 下列命题中，正确的命题是（　　）

A、若a＞b，c＞d，则ac＞bd B、若 $\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$ ，则 a＜b C、若b＞c，则|a|b≥|a|c D、若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d

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8. 已知函数 $f (x) = x (| x | + 1)$ ，则不等式 $f (x^{2}) + f (x - 2) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A 、 B$ 满足 $A$ $B$ ，则下列选项中正确的有（）

A、 $A ∩ B = B$ B、 $A \cup B = B$ C、 $(∁_{U} A) ∩ B = \emptyset$ D、 $A \cap (∁_{U} B) = \emptyset$

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10. 下列选项中正确的是（）

A、函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ 的定义域为 $(- 1 ， + \infty)$ B、函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x}$ 与函数 $g (x) = x$ 是同一个函数 C、函数 $y = [x]$ 中的 $y$ 表示不超过 $x$ 最大整数，则当 $x$ 的值为 $- 0.1$ 时， $y = - 1$ D、若函数 $f (x + 1) = 2 x - 3$ ，则 $f (4) = 3$

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11. 下列说法正确的有（）

A、命题“ $\exists x \in R ， x^{2} - x - 2 = 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R ， x^{2} - x - 2 \neq 0$ ” B、若命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 4 x + m = 0$ ”为假命题，则实数 $m$ 的取值范围是 $(4 ， + \infty)$ C、若 $a ， b ， c \in R$ ，则“ $a b^{2} > c b^{2}$ ”的充要条件是“ $a > c$ ” D、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件

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12. 下列说法正确的有（）

A、若 $x > 0$ ，则 $x + \frac{3}{x}$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ B、若 $x > - 2$ ，则 $x + \frac{16}{x + 2}$ 的最小值为6 C、若 $x > 0$ ，则 $\frac{- 2 x^{2} + x - 3}{x}$ 的最小值为 $1 - 2 \sqrt{6}$ D、已知 $a$ ， $b$ 都是正数，且 $a + b = 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$

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三、填空题

13. 不等式 $- 2 x^{2} + x + 3 < 0$ 的解集为．

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14. 若函数 $f (x) = (m - 2) x^{2} + (m - 1) x + 2$ 是偶函数，则 $f (x)$ 的单调递增区间是．

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15. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 3 ， x \geq 5 \\ f (x + 2) ， x < 5 \end{array}$ ，则 $f (2)$ 的值为.

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16. 已知 $λ \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 4 ， x \geq λ ， \\ x^{2} - 4 x + 3 ， x < λ ， \end{array}$ 若函数 $f (x)$ 恰有2个零点，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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四、解答题

17.

(1)、设数轴上点 $A$ 与数 $3$ 对应，点 $B$ 与数 $x$ 对应，已知线段 $A B$ 的中点到原点的距离不大于 $5$ ，求 $x$ 的取值范围；

(2)、求方程组 ${\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 5 \\ y = x + 1 \end{array}$ 的解集.

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18.

(1)、用篱笆围一个面积为 $100 m^{2}$ 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

(2)、用一段长为 $36 m$ 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

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19. 已知 $f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ ，

(1)、求证： $f (x)$ 是偶函数；

(2)、若命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + k x + 2 \geq f (0) + f (2) + f (\frac{1}{2}) + f (3) + f (\frac{1}{3}) \dots + f (50) + f (\frac{1}{50})$ ”是真命题，求实数 $k$ 的取值范围.

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20. 已知定义在 $[0 ， 6]$ 上的函数 $f (x)$ 的图像经过原点，在 $[0 ， 3]$ 上为一次函数，在 $[3 ， 6]$ 上为二次函数，且 $x \in [3 ， 6]$ 时， $f (x) \leq f (5) = 3$ ， $f (6) = 2$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求关于 $x$ 的方程 $f (x) = - \frac{1}{2}$ 的解集.

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21. 高邮市清水潭旅游景点国庆期间，团队收费方案如下：不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过 $m$ ( $40 < m \leq 100$ )人时，每增加 $1$ 人，人均收费降低 $1$ 元；超过 $m$ 人时，人均收费都按照 $m$ 人时的标准．设景点接待有 $x$ 名游客的某团队，收取总费用为 $y$ 元．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求 $m$ 的取值范围．

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22. 已知函数f(x)=x+ $\frac{1}{x + 1}$ ，g(x)=ax+5-2a(a>0).

(1)、判断函数f(x)在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；

(2)、若对任意m∈[0，1]，总存在m₀∈[0，1]，使得g(m₀)=f(m)成立，求实数a的取值范围.

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