江苏省扬州市2022-2023学年高一上学期数学期中模拟试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x > 0$ ， $2 x^{2} = 5 x - 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0$ ， $2 x^{2} \neq 5 x - 1$ B、 $\forall x ⩽ 0$ ， $2 x^{2} = 5 x - 1$ C、 $\exists x > 0$ ， $2 x^{2} \neq 5 x - 1$ D、 $\exists x ⩽ 0$ ， $2 x^{2} = 5 x - 1$

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2. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- 1, 1]$ C、 $[1, 2)$ D、 $(1, 2)$

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3. 不等式 $9 x^{2} + 6 x + 1 \leq 0$ 的解集是（）

A、 ${x | x \neq - \frac{1}{3}}$ B、 ${x | - \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}}$ C、 $\emptyset$ D、 ${x | x = - \frac{1}{3}}$

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4. 已知函数 $f (2 x - 4) = x^{2} + 1$ ，则 $f (2)$ 的值为（）

A、5 B、8 C、10 D、16

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5. 已知 $a = 2^{0.1}$ ， $b = {0.3}^{3}$ ， $c = 0.3 {}^{0.1}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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6. 下列函数中，与函数 $y = x - 1$ 是同一函数的是（）

A、 $y = | x - 1 |$ B、 $y = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ C、 $y = {(\sqrt{x - 1})}^{2}$ D、 $y = \frac{(x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

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7. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m + 1}$ 为偶函数，若函数 $g (x) = f (x) - 2^{a} x$ 在［2，4]上单调，则实数a的取值范围为（）

A、 $(2 ，＋ \infty)$ B、 $(- \infty ， 2] \cup [3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(1 ， 3)$

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8. 设 $m a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， (a \geq b) \\ b ， (a < b) \end{array}$ 则函数 $f (x) = m a x {x^{2} - x ， 1 - x^{2}}$ 的单调增区间为（）

A、 $[- 1 ， 0] ， [\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1] ， [0 ， \frac{1}{2}]$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}] ， [0 ， 1]$ D、 $[- \frac{1}{2} ， 0] ， [1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. （多选题）已知集合 $M = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， N ∩ M = {4 ， 5}$ ，则 $N$ 可能为（）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ B、 ${4 ， 5 ， 6}$ C、 ${4 ， 5}$ D、 ${3 ， 4 ， 5}$

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10. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 2$ ，则下列不等式对一切满足条件的 $a$ ， $b$ 都成立的是（）

A、 $a b \geq 1$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 a x^{2} + 4 (a - 3) x + 5$ ，下列关于函数 $f (x)$ 的单调性说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上不具有单调性 B、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上递减 C、若 $f (x)$ 的单调递减区间是 $(- \infty ， - 4]$ ，则a的值为 $- 1$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 3)$ 上是减函数，则a的取值范围是 $[0 ， \frac{3}{4}]$

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12. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) > 0$ ，则 $f (x)$ 满足（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $y = f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 在 $[m ， n]$ 上有最大值 $f (n)$ D、 $f (x - 1) > 0$ 的解集为 $(- ∞ ， 1)$

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三、填空题

13. 已知 $a = l o g_{3} 2$ ，那么 $l o g_{3} 8 - 2 l o g_{3} 6$ 用a表示为.

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14. 若 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，则函数 $f (x) = a^{x - 4} + 3$ 的图像恒过的定点的坐标为．

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15. 已知 $f (x) = x^{5} + a x^{3} + b x - 8$ ，若 $f (- 2) = 10$ ，则 $f (2) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + x ， - 2 \leq x \leq c \\ \frac{1}{2 x} ， c < x \leq 3 \end{array}$ ，若 $c = 0$ ，则 $f (x)$ 的值域是；若 $f (x)$ 的值域是 $[- \frac{1}{4} ， 2]$ ，则参数 $c$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 $2^{- \frac{1}{2}} + \frac{{(- 4)}^{0}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} - 1} - \sqrt{{(1 - \sqrt{5})}^{0}}$ .

(2)、 $l o g_{2.5} 6.25 + l g \frac{1}{100} + l n (e \sqrt{e}) + l o g_{2} (l o g_{2} 16)$ ；

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18. 已知集合 $A = {x | \frac{1}{9} \leq 3^{x} \leq 27}$ ，函数 $f (x) = \frac{l g (x - 1)}{\sqrt{4 - x}}$ 的定义域为 $B$ .

(1)、求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} B) ∩ A$ ；

(2)、已知集合 $C = {x | m - 4 \leq x \leq 3 m + 3}$ ，若 $A \cap C = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) - f (x - 2) = 6 x - 9 (x \in R)$ ，且 $f (0) = 2 .$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = (2 a - 2) x - a + 3 - f (x)$ 在 $x \in [0 ， 1]$ 时有最大值2，求a的值．

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20. 已知定义域为R的函数 $f (x) = \frac{b - 2^{x}}{2^{x} + a}$ 是奇函数.

(1)、求a、b的值；

(2)、证明f(x)在(-∞，+∞)上为减函数；

(3)、若对于任意 $t \in$ R，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 恒成立，求k的范围

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21. 已知不等式 $a x^{2} - (a + 2) x + b > 0$ ， $a ， b \in R$ .

(1)、若不等式的解集为 ${x | x < 1$ 或 $x > 2}$ ，求 $a + b$ 的值；

(2)、若 $b = 2$ ，求该不等式的解集.

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22. 为了预防流感，某学校对教室进行药熏消毒.室内每立方米空气的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示.在药物释放过程中，y与x成正比（对应图中OA）；药物释放完毕后，y与x函数关系式为 $y = k \cdot {(x + a)}^{- 1}$ （k为常数，其图象经过点B）.根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)、写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式；

(2)、据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室.学校每天19：00准时对教室进行药熏消毒，那么第二天6：30后，学生能否进教室？并说明理由.

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