江苏省宿迁市泗洪县2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | x = 3 k + 1 ， k \in Z}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $- 4 \in A$ B、 $4 \notin A$ C、 $- 7 \in A$ D、 $7 \in A$

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2. 下列表示正确的是（）

A、 $\emptyset \subseteq {0}$ B、 $a \subseteq {a}$ C、 ${a} \in {a, b}$ D、 ${0} = \emptyset$

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3. 设 $A = {(x ， y) | y = - 2 x + 4}$ ， $B = {(x ， y) | y = 5 x - 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${x = 1 ， y = 2}$ C、 ${(1 ， 2)}$ D、 ${(x ， y) | x = 1$ 或 $y = 2}$

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4. 下列四组函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 不相等的是（）

A、 $f (x) = | x |$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = x^{2} + 1$ 与 $g (t) = t^{2} + 1$ C、 $f (x) = \frac{| x |}{x}$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x > 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ D、 $f (x) = \sqrt{(x - 1) (x + 1)}$ 与 $g (x) = \sqrt{x + 1} \sqrt{x - 1}$

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5. 命题p：n是3的倍数；q：n是6的倍数，p是q的（）条件．

A、充分且不必要 B、必要且不充分 C、充要 D、既不充分又不必要

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6. 已知命题“ $\forall x \in [- 2 ， 2] ， - x^{2} + 3 x + a \leq 0$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{9}{4} ， + \infty)$ B、 $(10 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 10)$ D、 $(- 2 ， + \infty)$

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7. 仰望星空，探索宇宙的奥秘一直是人类的梦想，在天文学中，天体的明暗程度可以用星等 $m$ 或亮度 $E$ 来描述，两颗星的星等与亮度满足 $m_{2} - m_{1} = 2.5 (l g E_{1} - l g E_{2})$ ．若星体甲的星等是﹣26.7，星体乙的星等是﹣1.45，则星体甲与星体乙的亮度比 $\frac{E_{甲}}{E_{乙}}$ 为（）

A、 $1 0^{10.1}$ B、 $\frac{1}{1 0^{10.1}}$ C、 $l g 10.1$ D、 $\frac{1}{l g 10.1}$

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8. 已知 $f (\sqrt{x} - 1) = - x + \sqrt{x}$ ，则 $f (x)$ 的值域是（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{4}]$ C、 $[0 ， + ∞)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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9. 若 $a < b < 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $0 < \frac{a}{b} < 1$ C、 $a b > b^{2}$ D、 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$

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10. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = - x^{2} + 1$ C、 $y = | x | + 1$ D、 $y = | x + \frac{1}{x} |$

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二、多选题

11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x 为有理数 \\ 0 ， x 为无理数 \end{array}$ ，称为狄利克雷函数，则关于 $f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， 1]$ B、 $f (x)$ 的定义域为 $R$ C、 $\forall x \in R ， f (f (x)) = 1$ D、任意一个非零有理数 $T$ ， $f (x + T) = f (x)$ 对任意 $x ∈ R$ 恒成立

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12. 已知 $x + y = 1$ ， $y > 0$ ， $x \neq 0$ ，则 $\frac{1}{2 | x |} + \frac{| x |}{y + 1}$ 的值可能是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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三、填空题

13. 写出一个 $f (1) = 1 ， f (3) = 9$ 的二次函数 $y = f (x)$ 的解析式．

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14. 已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ，则 $f (- 2)$ ＝．

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15. 已知 $a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，则 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x - 1 ， x < 2 \\ x^{2} - 2 a x ， x \geq 2 \end{array}$ ，对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ $(x_{1} \neq x_{2})$ ，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 求下列各式的值：

(1)、 $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^{2}}$ + ${(2 \frac{1}{4})}^{- \frac{1}{2}} + π^{0} + 2 7^{\frac{1}{6}}$ ；

(2)、 ${(l g 5)}^{2} + l g 50 \times l g 2 + e^{l n 3} + {(\frac{1}{2})}^{l o g_{2} 5}$ ．

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18. 在①函数 $f (x) = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}$ 的定义域为集合B，②不等式 $| x - 1 | ≤ 2$ 的解集为B这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：设全集 $U = R ， A = [a - 2 ， a + 1]$ ， ____．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、当 $a = 2$ ，求 $(∁_{R} A) ∩ B$ ；

(2)、若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的充分条件，求 $a$ 的取值范围．

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19. 已知正数 $a ， b$ 满足 $a + 2 b = a b$ ．

(1)、求 $a b$ 的最小值；

(2)、求 $2 a + b$ 的最小值．

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20. 已知函数f(x)＝x|x+2|，且x∈R．

(1)、解关于x的不等式f(x)≥﹣1；

(2)、当x∈[2，m]时，求f(x)的最小值．

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21. 我县黄桃种植户为了迎合大众需求，提高销售量，打算以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则黄桃的售价需要相应的降低，已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒黄桃的销售价格g(x)（单位：元）与销售量x（单位：万盒）之间满足关系式g(x)＝ ${\begin{array}{l} 56 - 2 x ， 0 < x ⩽ 10 \\ 17.6 + \frac{328}{x} - \frac{1440}{x^{2}} ， x > 10 \end{array}$ ．

(1)、写出利润F(x)（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润＝销售收入﹣成本）

(2)、当销售量为多少万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润？此时最大利润是多少？

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22. 已知函数f(x)＝x﹣ $\frac{1}{x}$ ．

(1)、判断并用定义法证明y＝f(x)在（0，+∞）上的单调性；

(2)、若∃x∈[1，2]，使得x²+ $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4} ⩾ x + \frac{1}{2} m^{2} - 2 m$ 成立，求m的取值范围．

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